Nos exercícios abaixo, encontre os valores de x>0 para os quais a série converge:
1+x^22+x^44+ldots=1+sumk=1^infty x^2 k2 k

Passo 1

Então, a gente tem a série e precisa descobrir para quais valores de ela converge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série de uma forma mais geral para facilitar a análise:
sumk=0^infty x^2k2k = 1 + sumk=1^infty x^2k2k
Aqui, o termo geral da série é .

Passo 3

Para determinar se essa série converge, podemos usar o Teste da Raiz. Esse teste ajuda a verificar a convergência de séries cujo termo geral envolve potências.
O Teste da Raiz funciona assim:
L = limk to infty raiz[k]|ak|
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não dá uma resposta definitiva.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Raiz ao nosso termo geral raiz[k]|ak| = raiz[k]x^2k2k = x^2raiz[k]2k :
L = limk to infty x^2raiz[k]2k = x^2 times limk to infty 1raiz[k]2k
Agora, vamos calcular o limite quando L = x^2 times 1 = x^2 tende ao infinito:
Sabemos que tende a 1 conforme aumenta, porque a raiz k-ésima de qualquer função polinomial tende a 1. Assim:

Passo 5

Agora, vamos interpretar o resultado do teste:
  • Se 1 + 12 + 14 + ldots : A série converge.
  • Se sumk=1^infty 12k : A série diverge.
  • Se : Precisamos analisar esse caso separadamente.
Vamos resolver para :
  • implica .
  • implica .
No caso onde , a série se torna:
Essa é uma série geométrica com razão , que converge para 2. No entanto, ao verificar o termo geral quando :
Isso é equivalente a vezes a série harmônica, que é conhecida por divergir. Portanto, quando , a série também diverge.

Resposta

A série converge para todo tal que .

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