Nos exercícios abaixo, encontre os valores de para os quais a série converge:

Passo 1

Então, a gente tem a série e precisa descobrir para quais valores de ela converge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série de uma forma mais geral para facilitar a análise:
Aqui, o termo geral da série é .

Passo 3

Para determinar se essa série converge, podemos usar o Teste da Raiz. Esse teste ajuda a verificar a convergência de séries cujo termo geral envolve potências.
O Teste da Raiz funciona assim:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não dá uma resposta definitiva.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Raiz ao nosso termo geral :
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Sabemos que tende a 1 conforme aumenta, porque a raiz k-ésima de qualquer função polinomial tende a 1. Assim:

Passo 5

Agora, vamos interpretar o resultado do teste:
  • Se : A série converge.
  • Se : A série diverge.
  • Se : Precisamos analisar esse caso separadamente.
Vamos resolver para :
  • implica .
  • implica .
No caso onde , a série se torna:
Essa é uma série geométrica com razão , que converge para 2. No entanto, ao verificar o termo geral quando :
Isso é equivalente a vezes a série harmônica, que é conhecida por divergir. Portanto, quando , a série também diverge.

Resposta

A série converge para todo tal que .

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Utilize o teorema sobre a convergência da série geométrica para comprovar as seguintes igualdades:
se
Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência: