Nos exercícios abaixo, encontre os valores de
para os quais a série converge:
Passo 1
Então, a gente tem a série
e precisa descobrir para quais valores de
ela converge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas e critérios de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série de uma forma mais geral para facilitar a análise:
Aqui, o termo geral da série é
.
Passo 3
Para determinar se essa série converge, podemos usar o Teste da Raiz. Esse teste ajuda a verificar a convergência de séries cujo termo geral envolve potências.
O Teste da Raiz funciona assim:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste não dá uma resposta definitiva.
Passo 4
Vamos aplicar o Teste da Raiz ao nosso termo geral
:
Agora, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito:
Sabemos que
tende a 1 conforme
aumenta, porque a raiz k-ésima de qualquer função polinomial tende a 1. Assim:
Passo 5
Agora, vamos interpretar o resultado do teste:
- Se
: A série converge. - Se
: A série diverge. - Se
: Precisamos analisar esse caso separadamente.
Vamos resolver para
:
-
implica . -
implica .
No caso onde
, a série se torna:
Essa é uma série geométrica com razão
, que converge para 2. No entanto, ao verificar o termo geral quando
:
Isso é equivalente a
vezes a série harmônica, que é conhecida por divergir. Portanto, quando
, a série também diverge.
Resposta
A série converge para todo
tal que
.
Exercícios relacionados
Utilize o teorema sobre a convergência da série geométrica para comprovar as seguintes igualdades:
se
Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
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