Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
Passo 1
Vamos analisar a série . Essa questão está relacionada ao estudo de séries numéricas, especificamente sobre convergência absoluta e condicional. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar os testes de convergência em séries alternadas.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a série converge absolutamente. Isso significa verificar a convergência da série dos valores absolutos: .
Passo 3
Sabemos que cos(k pi) = (-1)^k, então a série dos valores absolutos fica sumk=1^infty 1k+2. Essa é uma série harmônica deslocada, que sabemos que diverge porque a série harmônica sum 1k é divergente.
Passo 4
Como a série não converge absolutamente, vamos verificar a convergência condicional. A série original é alternada devido ao termo (-1)^k. Aplicando o Teste da Série Alternada, observamos que os termos 1k+2 são decrescentes e tendem a zero à medida que k aumenta. Portanto, segundo o teste, a série converge condicionalmente.
Resposta
A série sumk=1^infty cos (k pi)k+2 converge condicionalmente.