Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
sumk=1^infty cos (k pi)k+2

Passo 1

Vamos analisar a série sumk=1^infty cos (k pi)k+2. Essa questão está relacionada ao estudo de séries numéricas, especificamente sobre convergência absoluta e condicional. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar os testes de convergência em séries alternadas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a série converge absolutamente. Isso significa verificar a convergência da série dos valores absolutos: sumk=1^infty | cos(k pi)k+2 |.

Passo 3

Sabemos que cos(k pi) = (-1)^k, então a série dos valores absolutos fica sumk=1^infty 1k+2. Essa é uma série harmônica deslocada, que sabemos que diverge porque a série harmônica sum 1k é divergente.

Passo 4

Como a série não converge absolutamente, vamos verificar a convergência condicional. A série original é alternada devido ao termo (-1)^k. Aplicando o Teste da Série Alternada, observamos que os termos 1k+2 são decrescentes e tendem a zero à medida que k aumenta. Portanto, segundo o teste, a série converge condicionalmente.

Resposta

A série sumk=1^infty cos (k pi)k+2 converge condicionalmente.

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