Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
sumk=1^infty (-1)^kraizk(k+2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a série para ver se ela converge absolutamente ou condicionalmente. Vamos usar conceitos de séries infinitas, como convergência absoluta e a série alternada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta. Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos também converge. Já a convergência condicional acontece quando a série converge, mas a série dos valores absolutos não converge.

Passo 3

Vamos verificar a convergência absoluta da série. Para isso, consideramos os valores absolutos dos termos:
sumk=1^infty |(-1)^kraizk(k+2)| = sumk=1^infty 1raizk(k+2)

Passo 4

Agora, precisamos testar se a série raizk(k+2) = raizk^2 + 2k = kraiz1 + 2k approx k para grandes k converge. Podemos simplificar o denominador:
Então, para grandes valores de , . Sabemos que a série (série harmônica) diverge.

Passo 5

Como se comporta de forma semelhante a para grandes e a série diverge, podemos concluir que a série também não converge. Portanto, a série original não converge absolutamente.

Passo 6

Agora, vamos verificar a convergência condicional da série original . Para isso, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que uma série converge se:
  1. é decrescente: ,
  2. .

Passo 7

Vamos verificar as condições:
  1. Decrescimento: Observamos que limk to infty 1raizk(k+2) = limk to infty 1kraiz1 + 2k = 0 é decrescente porque, à medida que aumenta, o denominador aumenta, fazendo com que diminua.
  2. Limite: Calculamos o limite de quando tende a infinito:

Passo 8

Como ambas as condições do Teste da Série Alternada são atendidas, podemos concluir que a série converge condicionalmente.

Resposta

(a) A série não converge absolutamente.
(b) A série converge condicionalmente.

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