Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a série para ver se ela converge absolutamente ou condicionalmente. Vamos usar conceitos de séries infinitas, como convergência absoluta e a série alternada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta. Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos também converge. Já a convergência condicional acontece quando a série converge, mas a série dos valores absolutos não converge.
Passo 3
Vamos verificar a convergência absoluta da série. Para isso, consideramos os valores absolutos dos termos:
Passo 4
Agora, precisamos testar se a série converge. Podemos simplificar o denominador:
Então, para grandes valores de , . Sabemos que a série (série harmônica) diverge.
Passo 5
Como se comporta de forma semelhante a para grandes e a série diverge, podemos concluir que a série também não converge. Portanto, a série original não converge absolutamente.
Passo 6
Agora, vamos verificar a convergência condicional da série original . Para isso, usamos o Teste da Série Alternada, que diz que uma série converge se:
é decrescente: ,
.
Passo 7
Vamos verificar as condições:
Decrescimento: Observamos que é decrescente porque, à medida que aumenta, o denominador aumenta, fazendo com que diminua.
Limite: Calculamos o limite de quando tende a infinito:
Passo 8
Como ambas as condições do Teste da Série Alternada são atendidas, podemos concluir que a série converge condicionalmente.