Utilize o teorema sobre a convergência da série geométrica para comprovar as seguintes igualdades:
se

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o teorema da convergência da série geométrica para provar que a soma infinita de de até o infinito é igual a , desde que . A matéria que vamos usar aqui é a das séries geométricas e o teorema que garante quando elas convergem. Precisamos lembrar que uma série geométrica tem a forma , onde é o primeiro termo e é a razão. E a série converge se .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores de e na nossa série . Se a gente comparar com a forma geral , vemos que:
  • (porque quando , )
  • (já que cada termo é )

Passo 3

Agora que identificamos e , vamos lembrar do teorema da série geométrica. Ele diz que se , então a soma infinita da série é dada por:
No nosso caso, e , então a soma fica:
Mas isso só vale se .

Passo 4

Vamos verificar a condição de convergência. Sabemos que . Como , ao quadrado isso continua sendo menor que 1:
Portanto, a condição do teorema está satisfeita e podemos afirmar que a série converge para .

Resposta

A soma da série é igual a quando .

Exercícios relacionados

Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
Nos exercícios abaixo determine o valor de x para os quais a série converge absolutamente:
Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência: