Utilize o teorema sobre a convergência da série geométrica para comprovar as seguintes igualdades:
se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o teorema da convergência da série geométrica para provar que a soma infinita de
de
até o infinito é igual a
, desde que
. A matéria que vamos usar aqui é a das séries geométricas e o teorema que garante quando elas convergem. Precisamos lembrar que uma série geométrica tem a forma
, onde
é o primeiro termo e
é a razão. E a série converge se
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores de
e
na nossa série
. Se a gente comparar com a forma geral
, vemos que:
-
(porque quando , ) -
(já que cada termo é )
Passo 3
Agora que identificamos
e
, vamos lembrar do teorema da série geométrica. Ele diz que se
, então a soma infinita da série é dada por:
No nosso caso,
e
, então a soma fica:
Mas isso só vale se
.
Passo 4
Vamos verificar a condição de convergência. Sabemos que
. Como
, ao quadrado isso continua sendo menor que 1:
Portanto, a condição do teorema está satisfeita e podemos afirmar que a série converge para
.
Resposta
A soma da série
é igual a
quando
.
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Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência: