Utilize o teorema sobre a convergência da série geométrica para comprovar as seguintes igualdades:
sumk=0^infty x^2 k=11-x^2 se |x|<1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar o teorema da convergência da série geométrica para provar que a soma infinita de de até o infinito é igual a , desde que . A matéria que vamos usar aqui é a das séries geométricas e o teorema que garante quando elas convergem. Precisamos lembrar que uma série geométrica tem a forma , onde é o primeiro termo e é a razão. E a série converge se .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores de e na nossa série . Se a gente comparar com a forma geral , vemos que:
  • (porque quando , )
  • (já que cada termo é )

Passo 3

Agora que identificamos sumk=0^infty ar^k = a1 - r e sumk=0^infty x^2k = 11 - x^2 , vamos lembrar do teorema da série geométrica. Ele diz que se , então a soma infinita da série é dada por:
No nosso caso, e , então a soma fica:
Mas isso só vale se .

Passo 4

Vamos verificar a condição de convergência. Sabemos que |x| < 1 implies |x|^2 < 1 implies |x^2| < 1 . Como , ao quadrado isso continua sendo menor que 1:
Portanto, a condição do teorema está satisfeita e podemos afirmar que a série converge para .

Resposta

A soma da série é igual a quando .

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