Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência: sumk=2^infty 1(ln k)^k(x-1)^k

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o intervalo de convergência da série de potência . Aqui, vamos usar conceitos de séries de potências e testes de convergência, como o teste da razão e o teste da raiz. Vamos precisar entender como aplicar esses testes para determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma série de potência tem a forma geral limk to infty raiz[k]|ak||x - 1|^k < 1 , onde é o centro da série. No nosso caso, o centro é e os coeficientes são .
Para encontrar o intervalo de convergência, podemos usar o teste da raiz. Esse teste nos diz que a série converge se:

Passo 3

Aplicando o teste da raiz na nossa série:
limk to infty raiz[k]|1(ln k)^k| cdot |x - 1| = limk to infty 1ln k cdot |x - 1|
Aqui, simplificamos a expressão dentro da raiz, já que .

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite:
limk to infty 1ln k cdot |x - 1|
Sabemos que cresce sem limite conforme aumenta. Portanto, tende a zero quando vai para o infinito.

Passo 5

Assim, o limite fica:
0 cdot |x - 1| = 0
Como , isso significa que a série converge para qualquer valor de .

Resposta

O intervalo de convergência da série é , ou seja, para todo número real .

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