Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência: sumk=1^infty (-1)^kk!(x-3)^k

Passo 1

Então, a gente tem que descobrir para quais valores de a série de potência converge. Basicamente, vamos usar conhecimentos de séries infinitas e testes de convergência para achar esse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para séries de potência, uma maneira comum de encontrar o intervalo de convergência é usar o Teste da Razão. Esse teste ajuda a determinar para quais valores de a série vai somar até um valor finito.

Passo 3

O Teste da Razão funciona assim: Calculamos o limite da razão entre o termo geral limk to infty | ak+1ak | < 1 e quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge.
Matematicamente, é:

Passo 4

Vamos aplicar isso na nossa série. O termo geral é:
ak = (-1)^kk!(x-3)^k
Então, o próximo termo é:
ak+1 = (-1)^k+1(k+1)!(x-3)^k+1

Passo 5

Agora, montamos a razão:
| ak+1ak | = | (-1)^k+1(k+1)!(x-3)^k+1 cdot k!(-1)^k(x-3)^k | = | (x-3)k+1 |

Passo 6

Calculamos o limite quando limk to infty | (x-3)k+1 | = limk to infty |x-3|k+1 = 0 tende ao infinito:
Como , a condição do Teste da Razão é satisfeita para qualquer valor de .

Resposta

O intervalo de convergência da série é , ou seja, a série converge para todo valor real de .

Exercícios relacionados