Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
integralC x y^2 d x+2 x^2 y d y
C é o triângulo com vértices (0,0),(2,2) e (2,4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral que precisamos resolver é , onde é um triângulo com vértices em , e . Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que transforma uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada ointC P dx + Q dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA e uma região que ela delimita,
Aqui, e . Precisamos calcular as derivadas parciais e .

Passo 3

Calculando as derivadas:
partial Qpartial x = partialpartial x (2 x^2 y) = 4 x y
partial Ppartial y = partialpartial y (x y^2) = 2 x y
Agora, a diferença é:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 4 x y - 2 x y = 2 x y

Passo 4

Agora, precisamos configurar a integral dupla sobre a região , que é o triângulo com vértices em , e . Vamos identificar os limites de integração.
Para , vai de 0 a 2.
Para , para cada , vai de uma linha inferior a uma linha superior. A parte inferior do triângulo vai da origem até , que é a linha . A parte superior vai de até , que é a linha vertical . Porém, para , a linha superior é .

Passo 5

Então, a integral dupla fica:
integral duplaD 2 x y , dA = integralx=0^2 integraly=x^x+2 2 x y , dy , dx
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a .

Passo 6

Integrando integraly=x^x+2 2 x y , dy = 2 x [ y^22 ]x^x+2 = 2 x ( (x+2)^22 - x^22 ) = 2 x ( (x^2 + 4x + 4) - x^22 ) = 2 x ( 4x + 42 ) = 2 x (2x + 2) = 4x^2 + 4x em relação a :

Passo 7

Agora, integramos o resultado em relação a integral0^2 (4x^2 + 4x) , dx = 4 integral0^2 x^2 , dx + 4 integral0^2 x , dx = 4 [ x^33 ]0^2 + 4 [ x^22 ]0^2 = 4 ( 83 - 0 ) + 4 ( 42 - 0 ) = 323 + 8 = 323 + 243 = 563 :

Resposta

A integral de linha é igual a .

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