Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
é o triângulo com vértices
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A integral que precisamos resolver é
, onde
é um triângulo com vértices em
,
e
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Green, que transforma uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região delimitada pela curva
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green. Ele diz que para uma curva fechada
e uma região
que ela delimita,
Aqui,
e
. Precisamos calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 3
Calculando as derivadas:
Agora, a diferença é:
Passo 4
Agora, precisamos configurar a integral dupla sobre a região
, que é o triângulo com vértices em
,
e
. Vamos identificar os limites de integração.
Para
, vai de 0 a 2.
Para
, para cada
,
vai de uma linha inferior a uma linha superior. A parte inferior do triângulo vai da origem
até
, que é a linha
. A parte superior vai de
até
, que é a linha vertical
. Porém, para
, a linha superior é
.
Passo 5
Então, a integral dupla fica:
Vamos resolver a integral interna primeiro, em relação a
.
Passo 6
Integrando
em relação a
:
Passo 7
Agora, integramos o resultado em relação a
:
Resposta
A integral de linha é igual a
.
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Verifique que o Teorema de Green é verdadeiro para a integral de linha
, onde curva consiste na parábola
de
a
e no segmento de reta de
.
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