Verifique que o Teorema de Green é verdadeiro para a integral de linha
, onde curva consiste na parábola
de
a
e no segmento de reta de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o Teorema de Green funciona para a integral de linha
. Isso envolve cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e o próprio Teorema de Green. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar o teorema e calcular tanto a integral de linha quanto a integral dupla correspondente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele estabelece que para um campo vetorial
, a integral de linha ao redor de uma curva fechada
é igual à integral dupla sobre a região
delimitada por essa curva:
No nosso caso,
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para a integral dupla:
Então,
Passo 4
Agora, precisamos definir a região
delimitada pela curva. A curva é composta pela parábola
de
a
, e pelo segmento de reta de
a
. Isso forma uma área fechada onde a parte de cima é a reta
e a parte de baixo é a parábola.
Passo 5
Vamos configurar a integral dupla sobre a região
:
Para integrar, vamos usar coordenadas cartesianas. Os limites de integração para
vão de
a
. Para cada
,
varia de
a
.
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos integrar primeiro em relação a
:
Passo 7
Agora, integramos em relação a
:
Vamos separar as integrais:
Sabemos que:
Portanto, a integral dupla é:
Resposta
Aplicando o Teorema de Green, a integral de linha
sobre a curva dada é igual a zero, confirmando que o Teorema de Green é válido para este caso.
Exercícios relacionados
Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva.
Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
Converter o número
para a base binária (2).
Expresse o número utilizando a representação do ponto flutuante normalizada na base indicada, utilizando apenas 2 dígitos na mantissa, fazendo o devido arredondamento.