Verifique que o Teorema de Green é verdadeiro para a integral de linha , onde curva consiste na parábola de a e no segmento de reta de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o Teorema de Green funciona para a integral de linha . Isso envolve cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e o próprio Teorema de Green. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar o teorema e calcular tanto a integral de linha quanto a integral dupla correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele estabelece que para um campo vetorial , a integral de linha ao redor de uma curva fechada é igual à integral dupla sobre a região delimitada por essa curva:
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para a integral dupla:
Então,

Passo 4

Agora, precisamos definir a região delimitada pela curva. A curva é composta pela parábola de a , e pelo segmento de reta de a . Isso forma uma área fechada onde a parte de cima é a reta e a parte de baixo é a parábola.

Passo 5

Vamos configurar a integral dupla sobre a região :
Para integrar, vamos usar coordenadas cartesianas. Os limites de integração para vão de a . Para cada , varia de a .
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar primeiro em relação a :

Passo 7

Agora, integramos em relação a :
Vamos separar as integrais:
Sabemos que:
çãí
çãí
Portanto, a integral dupla é:

Resposta

Aplicando o Teorema de Green, a integral de linha sobre a curva dada é igual a zero, confirmando que o Teorema de Green é válido para este caso.

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