Verifique que o Teorema de Green é verdadeiro para a integral de linha oint x y^2 d x-x^2 y d y, onde curva consiste na parábola y=x^2 de (-1,1) a (1,1) e no segmento de reta de (1,1) a(-1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o Teorema de Green funciona para a integral de linha oint x y^2 d x -x^2 y d y. Isso envolve cálculo vetorial, especificamente integrais de linha e o próprio Teorema de Green. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar o teorema e calcular tanto a integral de linha quanto a integral dupla correspondente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele estabelece que para um campo vetorial F = (P, Q), a integral de linha ao redor de uma curva fechada partial D é igual à integral dupla sobre a região D delimitada por essa curva:
ointpartial D P,dx + Q,dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
No nosso caso, P = x y^2 e Q = -x^2 y.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para a integral dupla:
partial Qpartial x = partial (-x^2 y)partial x = -2x y
partial Ppartial y = partial (x y^2)partial y = 2x y
Então,
partial Qpartial x - partial Ppartial y = (-2x y) - (2x y) = -4x y

Passo 4

Agora, precisamos definir a região D delimitada pela curva. A curva é composta pela parábola y = x^2 de x = -1 a x = 1, e pelo segmento de reta de (1,1) a (-1,1). Isso forma uma área fechada onde a parte de cima é a reta y = 1 e a parte de baixo é a parábola.

Passo 5

Vamos configurar a integral dupla sobre a região D:
integral duplaD (-4x y) , dA
Para integrar, vamos usar coordenadas cartesianas. Os limites de integração para x vão de -1 a 1. Para cada x, y varia de x^2 a 1.
Então, a integral fica:
integral-1^1 integralx^2^1 (-4x y) , dy , dx

Passo 6

Vamos integrar primeiro em relação a y:
integralx^2^1 (-4x y) , dy = -4x [ y^22 ]x^2^1 = -4x ( 12 - (x^2)^22 ) = -4x ( 1 - x^42 ) = -2x (1 - x^4)

Passo 7

Agora, integramos em relação a x:
integral-1^1 -2x (1 - x^4) , dx = -2 integral-1^1 (x - x^5) , dx
Vamos separar as integrais:
-2 ( integral-1^1 x , dx - integral-1^1 x^5 , dx )
Sabemos que:
integral-1^1 x , dx = 0 (função ímpar) çãí
integral-1^1 x^5 , dx = 0 (função ímpar) çãí
Portanto, a integral dupla é:
-2 (0 - 0) = 0

Resposta

Aplicando o Teorema de Green, a integral de linha oint x y^2 d x -x^2 y d y sobre a curva dada é igual a zero, confirmando que o Teorema de Green é válido para este caso.

Exercícios relacionados