Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o intervalo de convergência da série de potências . Isso tá relacionado ao estudo de séries e análises de convergência usando testes como o Teste da Razão. Vamos precisar usar esse teste para descobrir para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão para séries de potências. Esse teste ajuda a determinar o raio de convergência da série. A ideia é calcular o limite da razão entre o termo geral e quando tende ao infinito:
Se , a série converge; se ou é infinito, a série diverge. Se , o teste não é conclusivo.

Passo 3

Vamos identificar na nossa série:
Agora, vamos calcular :
A razão fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando tende ao infinito:

Passo 5

Para a série convergir, queremos que :
Isso significa que a série converge para todos os valores de cujo módulo é menor que 1. Então, o raio de convergência é 1.

Passo 6

Agora, precisamos verificar os pontos finais e para ver se a série converge nesses valores.
  • Para :
Essa é a série harmônica multiplicada por , que diverge.
  • Para :
Essa é a série harmônica alternada, que converge.

Resposta

O intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados

Utilize o teorema sobre a convergência da série geométrica para comprovar as seguintes igualdades:
se
Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.