Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o intervalo de convergência da série de potências . Isso tá relacionado ao estudo de séries e análises de convergência usando testes como o Teste da Razão. Vamos precisar usar esse teste para descobrir para quais valores de a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão para séries de potências. Esse teste ajuda a determinar o raio de convergência da série. A ideia é calcular o limite da razão entre o termo geral e quando tende ao infinito:
Se , a série converge; se ou é infinito, a série diverge. Se , o teste não é conclusivo.
Passo 3
Vamos identificar ak = x^k2 k na nossa série:
ak+1 = x^k+12 (k+1)
Agora, vamos calcular ak+1ak = x^k+12 (k+1)x^k2 k = x^k+1 cdot 2 k2 (k+1) x^k = x cdot kk+1 :
A razão fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite dessa razão quando L = limk to infty | x cdot kk+1 | = |x| cdot limk to infty kk+1 = |x| cdot 1 = |x| tende ao infinito:
Passo 5
Para a série convergir, queremos que |x| < 1 :
Isso significa que a série converge para todos os valores de cujo módulo é menor que 1. Então, o raio de convergência é 1.
Passo 6
Agora, precisamos verificar os pontos finais sumk=1^infty 1^k2 k = 12 sumk=1^infty 1k e sumk=1^infty (-1)^k2 k = 12 sumk=1^infty (-1)^kk para ver se a série converge nesses valores.
Para :
Essa é a série harmônica multiplicada por , que diverge.