Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
sumk=1^infty (-k)^33^k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a série sumk=1^infty (-k)^33^k (a) converge absolutamente e (b) converge condicionalmente. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas, mais especificamente sobre convergência absoluta e condicional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta. Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos dela também converge. Ou seja, se pegarmos todos os termos positivos da série original e somarmos, essa nova série também dá um resultado finito.

Passo 3

Vamos aplicar isso na nossa série. O termo geral da série é (-k)^33^k. O valor absoluto desse termo é |(-k)^3|3^k = k^33^k. Então, precisamos verificar se a série sumk=1^infty k^33^k converge.

Passo 4

Para verificar a convergência dessa nova série, podemos usar o Teste da Raiz ou o Teste da Razão. Vou usar o Teste da Razão aqui. Esse teste nos diz que se o limite da razão entre termos consecutivos for menor que 1, a série converge.
Então, vamos calcular:
L = limk to infty (k+1)^33^k+1k^33^k = limk to infty (k+1)^33k^3 = limk to infty (k+1)^3k^3 cdot 13
Simplificando (k+1)^3k^3:
(k+1)^3k^3 = (1 + 1k)^3
Quando k tende ao infinito, (1 + 1k)^3 tende a 1. Então:
L = 1 cdot 13 = 13 < 1

Passo 5

Como o limite L = 13 é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série sumk=1^infty k^33^k converge. Isso significa que a série original sumk=1^infty (-k)^33^k converge absolutamente.

Resposta

A série sumk=1^infty (-k)^33^k converge absolutamente.

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