Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se a série
(a) converge absolutamente e (b) converge condicionalmente. Para isso, vamos usar conhecimentos de séries infinitas, mais especificamente sobre convergência absoluta e condicional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta. Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos dela também converge. Ou seja, se pegarmos todos os termos positivos da série original e somarmos, essa nova série também dá um resultado finito.
Passo 3
Vamos aplicar isso na nossa série. O termo geral da série é
. O valor absoluto desse termo é
. Então, precisamos verificar se a série
converge.
Passo 4
Para verificar a convergência dessa nova série, podemos usar o Teste da Raiz ou o Teste da Razão. Vou usar o Teste da Razão aqui. Esse teste nos diz que se o limite da razão entre termos consecutivos for menor que 1, a série converge.
Então, vamos calcular:
Simplificando
:
Quando
tende ao infinito,
tende a 1. Então:
Passo 5
Como o limite
é menor que 1, pelo Teste da Razão, a série
converge. Isso significa que a série original
converge absolutamente.
Resposta
A série
converge absolutamente.
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