Utilize o teorema sobre a convergência da série geométrica para comprovar as seguintes igualdades: se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma série geométrica, que é um tipo de soma infinita. O conteúdo principal que vamos usar é o teorema da convergência da série geométrica, que nos diz quando essa soma infinita tem um valor finito. Para resolver, vamos precisar entender como funciona uma série geométrica e aplicar as condições de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série geométrica. Uma série geométrica tem a forma:
onde é a razão da série. Esse tipo de série converge (ou seja, tem um valor finito) se o valor absoluto de for menor que 1, ou seja, .
Passo 3
No nosso exercício, a série é:
Podemos reescrever isso como:
Aqui, a razão da nossa série geométrica é .
Passo 4
Para aplicar o teorema da convergência, precisamos verificar se . Isso é equivalente a:
Que é exatamente a condição dada no problema! Então, nossa série geométrica converge sob essa condição.
Passo 5
Sabendo que a série converge, podemos usar a fórmula da soma da série geométrica, que é: