Utilize o teorema sobre a convergência da série geométrica para comprovar as seguintes igualdades:
sumk=0^infty x^ky^k=yy-x se |x|<|y|

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma série geométrica, que é um tipo de soma infinita. O conteúdo principal que vamos usar é o teorema da convergência da série geométrica, que nos diz quando essa soma infinita tem um valor finito. Para resolver, vamos precisar entender como funciona uma série geométrica e aplicar as condições de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série geométrica. Uma série geométrica tem a forma:
sumk=0^infty r^k
onde é a razão da série. Esse tipo de série converge (ou seja, tem um valor finito) se o valor absoluto de for menor que 1, ou seja, .

Passo 3

No nosso exercício, a série é:
sumk=0^infty x^ky^k
Podemos reescrever isso como:
sumk=0^infty ( xy )^k
Aqui, a razão da nossa série geométrica é .

Passo 4

Para aplicar o teorema da convergência, precisamos verificar se |x| < |y| . Isso é equivalente a:
Que é exatamente a condição dada no problema! Então, nossa série geométrica converge sob essa condição.

Passo 5

Sabendo que a série converge, podemos usar a fórmula da soma da série geométrica, que é:
sumk=0^infty r^k = 11 - r
Substituindo sumk=0^infty ( xy )^k = 11 - xy = yy - x por , temos:

Resposta

sumk=0^infty x^ky^k = yy - x se |x| < |y|

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