Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o intervalo de convergência da série de potência . Aqui, estamos trabalhando com séries de potência, que são somas envolvendo potências de . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de essa série converge, ou seja, dá um resultado finito.
Passo 2
Primeiro, vamos usar o Teste da Razão para determinar o raio de convergência dessa série. Esse teste ajuda a descobrir até onde a série se comporta bem.
Passo 3
Aplicando o Teste da Razão, calculamos o limite:
Passo 4
Observando o limite, percebemos que tende a 1 quando vai para o infinito. Então, temos:
Passo 5
Para a série convergir, pelo Teste da Razão, precisamos que . Ou seja:
Isso nos diz que o raio de convergência é 1.
Passo 6
Agora, vamos verificar o que acontece nos extremos do intervalo, ou seja, quando e .
Para :
A série vira . Sabemos que cresce, mas de forma lenta, e a série diverge, pois é maior que uma série harmônica que já diverge.
Para :
A série vira . Aqui, temos uma série alternada. Pelo Teste da Série Alternada, se os termos diminuem e tendem a zero, a série converge. E de fato, satisfaz essas condições.
Resposta
Portanto, o intervalo de convergência é , onde a série converge para todos os entre e , inclusive em .