Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
sumk=2^infty x^kln k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar o intervalo de convergência da série de potência . Aqui, estamos trabalhando com séries de potência, que são somas envolvendo potências de . Nosso objetivo é descobrir para quais valores de essa série converge, ou seja, dá um resultado finito.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o Teste da Razão para determinar o raio de convergência dessa série. Esse teste ajuda a descobrir até onde a série se comporta bem.

Passo 3

Aplicando o Teste da Razão, calculamos o limite:
L = limk to infty | x^k+1ln(k+1)x^kln k | = limk to infty | x cdot ln kln(k+1) |

Passo 4

Observando o limite, percebemos que L = |x| cdot 1 = |x| tende a 1 quando vai para o infinito. Então, temos:

Passo 5

Para a série convergir, pelo Teste da Razão, precisamos que |x| < 1 . Ou seja:
Isso nos diz que o raio de convergência é 1.

Passo 6

Agora, vamos verificar o que acontece nos extremos do intervalo, ou seja, quando e .
  • Para :
A série vira . Sabemos que cresce, mas de forma lenta, e a série diverge, pois é maior que uma série harmônica que já diverge.
  • Para :
A série vira . Aqui, temos uma série alternada. Pelo Teste da Série Alternada, se os termos diminuem e tendem a zero, a série converge. E de fato, satisfaz essas condições.

Resposta

Portanto, o intervalo de convergência é , onde a série converge para todos os entre e , inclusive em .

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