Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! Temos uma série infinita e queremos descobrir se ela converge absolutamente ou condicionalmente. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries e os critérios de convergência que usamos na matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a série dada:
Aqui, estamos somando termos que envolvem funções trigonométricas e exponenciais. Nosso objetivo é verificar se a soma desses termos se aproxima de um número finito à medida que
tende ao infinito.
Passo 3
Para determinar a convergência absoluta, vamos primeiro considerar o módulo de cada termo da série:
Isso elimina o efeito do sinal negativo dos termos, se houver, e nos ajuda a verificar se a série converge independentemente dos sinais.
Passo 4
Observemos que alterna entre valores como
e
dependendo do valor de
. Portanto, o módulo dessa expressão será
. Assim, o termo acima simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento desse termo quando
tende ao infinito. Note que
cresce muito mais rapidamente que
, então podemos simplificar a expressão no denominador para aproximadamente
:
Passo 6
Para investigar a convergência dessa série, podemos aplicar o Teste da Comparação ou o Teste da Raiz. Vamos usar o Teste da Raiz, que é adequado para termos com potências e exponenciais.
Passo 7
Aplicando o Teste da Raiz, calculamos o limite:
Simplificando, percebemos que o denominador cresce exponencialmente, enquanto o numerador cresce linearmente, fazendo com que o limite seja
, que é menor que
.
Passo 8
Como o limite é menor que
, o Teste da Raiz nos diz que a série converge absolutamente. Isso significa que a série original também converge, independentemente dos sinais dos termos.
Resposta
A série converge absolutamente.
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se
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