Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! Temos uma série infinita e queremos descobrir se ela converge absolutamente ou condicionalmente. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries e os critérios de convergência que usamos na matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a série dada:
Aqui, estamos somando termos que envolvem funções trigonométricas e exponenciais. Nosso objetivo é verificar se a soma desses termos se aproxima de um número finito à medida que tende ao infinito.

Passo 3

Para determinar a convergência absoluta, vamos primeiro considerar o módulo de cada termo da série:
Isso elimina o efeito do sinal negativo dos termos, se houver, e nos ajuda a verificar se a série converge independentemente dos sinais.

Passo 4

Observemos que alterna entre valores como e dependendo do valor de . Portanto, o módulo dessa expressão será . Assim, o termo acima simplifica para:

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento desse termo quando tende ao infinito. Note que cresce muito mais rapidamente que , então podemos simplificar a expressão no denominador para aproximadamente :

Passo 6

Para investigar a convergência dessa série, podemos aplicar o Teste da Comparação ou o Teste da Raiz. Vamos usar o Teste da Raiz, que é adequado para termos com potências e exponenciais.

Passo 7

Aplicando o Teste da Raiz, calculamos o limite:
Simplificando, percebemos que o denominador cresce exponencialmente, enquanto o numerador cresce linearmente, fazendo com que o limite seja , que é menor que .

Passo 8

Como o limite é menor que , o Teste da Raiz nos diz que a série converge absolutamente. Isso significa que a série original também converge, independentemente dos sinais dos termos.

Resposta

A série converge absolutamente.

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