Utilize o teorema sobre a convergência da série geométrica para comprovar as seguintes igualdades:
se
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para usar o teorema da convergência da série geométrica para provar que a soma infinita de
de
até o infinito é igual a
, desde que
. Vamos precisar entender o que é uma série geométrica e como ela converge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série geométrica. É uma soma infinita onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada de razão
. A série geométrica geral é:
onde
é o primeiro termo e
é a razão.
Passo 3
O teorema da convergência da série geométrica diz que essa série converge para
se
. Se
, a série não converge.
Passo 4
No nosso exercício, a série é
. Vamos reescrever isso para encaixar na forma da série geométrica.
Observando a série, percebemos que:
- O primeiro termo
- A razão
porque cada termo é multiplicado por para chegar no próximo termo.
Passo 5
Agora, aplicando o teorema da série geométrica:
Isso é válido desde que
, que é exatamente a condição dada no exercício.
Resposta
Portanto, mostramos que
quando
.
Exercícios relacionados
Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
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Nos exercícios abaixo, encontre os valores de
para os quais a série converge:
Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência: