Utilize o teorema sobre a convergência da série geométrica para comprovar as seguintes igualdades:
sumk=0^infty(-1)^k x^k=11+x se |x|<1

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para usar o teorema da convergência da série geométrica para provar que a soma infinita de de até o infinito é igual a , desde que . Vamos precisar entender o que é uma série geométrica e como ela converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série geométrica. É uma soma infinita onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada de razão sumk=0^infty ar^k = a + ar + ar^2 + ar^3 + dots . A série geométrica geral é:
onde é o primeiro termo e é a razão.

Passo 3

O teorema da convergência da série geométrica diz que essa série converge para se . Se , a série não converge.

Passo 4

No nosso exercício, a série é . Vamos reescrever isso para encaixar na forma da série geométrica.
Observando a série, percebemos que:
  • O primeiro termo
  • A razão porque cada termo é multiplicado por para chegar no próximo termo.

Passo 5

Agora, aplicando o teorema da série geométrica:
sumk=0^infty (-1)^k x^k = a1 - r = 11 - (-x) = 11 + x
Isso é válido desde que , que é exatamente a condição dada no exercício.

Resposta

Portanto, mostramos que quando .

Exercícios relacionados