Utilize o teorema sobre a convergência da série geométrica para comprovar as seguintes igualdades:
se

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede para usar o teorema da convergência da série geométrica para provar que a soma infinita de de até o infinito é igual a , desde que . Vamos precisar entender o que é uma série geométrica e como ela converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série geométrica. É uma soma infinita onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada de razão . A série geométrica geral é:
onde é o primeiro termo e é a razão.

Passo 3

O teorema da convergência da série geométrica diz que essa série converge para se . Se , a série não converge.

Passo 4

No nosso exercício, a série é . Vamos reescrever isso para encaixar na forma da série geométrica.
Observando a série, percebemos que:
  • O primeiro termo
  • A razão porque cada termo é multiplicado por para chegar no próximo termo.

Passo 5

Agora, aplicando o teorema da série geométrica:
Isso é válido desde que , que é exatamente a condição dada no exercício.

Resposta

Portanto, mostramos que quando .

Exercícios relacionados

Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.
Nos exercícios abaixo, encontre os valores de para os quais a série converge:
Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência: