Nos exercícios abaixo, verifique se a série: (a) converge absolutamente; (b) converge condicionalmente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a série para ver se ela converge absolutamente e/ou converge condicionalmente. Para isso, vamos usar alguns testes de convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a convergência absoluta. Isso significa que a gente considera a série dos valores absolutos dos termos:
Agora, precisamos ver se essa nova série converge. Observando , percebemos que, para grande, o numerador cresce muito mais rápido do que o denominador . Comparando com a série , que sabemos que diverge (porque é uma série p com ), concluímos que a série também diverge.

Passo 3

Como a série dos valores absolutos diverge, ela não converge absolutamente. Mas ainda podemos verificar se ela converge condicionalmente usando o Teste da Série Alternada. Esse teste diz que, para uma série da forma , se for decrescente e tendendo a zero, então a série converge.
Vamos analisar :
  1. Decrescimento: A sequência não é decrescente. Na verdade, aumenta conforme cresce, porque cresce muito mais rápido que .
  2. Limite: , ou seja, não tende a zero.
Como os dois critérios do Teste da Série Alternada não são satisfeitos, a série não converge condicionalmente.

Resposta

A série não converge absolutamente nem condicionalmente, ou seja, ela diverge.

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