Julgue os itens em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
3. ( ) Se sumn=1^infty|an| então sumn=1^infty an. Não vale a recíproca desse resultado, isto é, sumn=1^infty an não implica que sumn=1^infty|an|. A série harmônica alternada pode ser utilizada para verificar que a recíproca desse resultado não é válida.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre séries infinitas e quer saber se a afirmação apresentada é verdadeira ou falsa. O conteúdo aqui é sobre convergência absoluta e convergência condicional de séries. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma série ser absolutamente convergente e o que acontece quando ela não é.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é convergência absoluta. Uma série infinita sumn=1^infty an é dita absolutamente convergente se a série das suas magnitudes, ou seja, sumn=1^infty |an|, também converge. Isso é importante porque se a série das magnitudes converge, então a série original também converge, independente da ordem dos termos.

Passo 3

Agora, a afirmação diz que se sumn=1^infty |an| converge, então sumn=1^infty an também converge. Isso está correto! Isso é uma consequência direta do conceito de convergência absoluta que acabamos de falar.

Passo 4

A parte seguinte da afirmação fala sobre a recíproca: se sumn=1^infty an converge, isso não necessariamente significa que sumn=1^infty |an| também converge. Ou seja, a convergência da série original não garante a convergência da série das magnitudes.

Passo 5

Para ilustrar que a recíproca não é válida, podemos usar a série harmônica alternada. Essa série é dada por:
sumn=1^infty (-1)^n+1n
Ela converge (por ser uma série alternada que atende aos critérios do teste da série alternada), mas se olharmos para a série das magnitudes:
sumn=1^infty | (-1)^n+1n | = sumn=1^infty 1n
Essa última é a série harmônica, que é conhecida por divergir. Então, aqui temos um exemplo onde sum an converge, mas sum |an| não converge.

Resposta

Verdadeiro.

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