Julgue os itens em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
3. ( ) Se então . Não vale a recíproca desse resultado, isto é, não implica que . A série harmônica alternada pode ser utilizada para verificar que a recíproca desse resultado não é válida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre séries infinitas e quer saber se a afirmação apresentada é verdadeira ou falsa. O conteúdo aqui é sobre convergência absoluta e convergência condicional de séries. Para resolver, vamos precisar entender o que significa uma série ser absolutamente convergente e o que acontece quando ela não é.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é convergência absoluta. Uma série infinita é dita absolutamente convergente se a série das suas magnitudes, ou seja, , também converge. Isso é importante porque se a série das magnitudes converge, então a série original também converge, independente da ordem dos termos.
Passo 3
Agora, a afirmação diz que se converge, então também converge. Isso está correto! Isso é uma consequência direta do conceito de convergência absoluta que acabamos de falar.
Passo 4
A parte seguinte da afirmação fala sobre a recíproca: se converge, isso não necessariamente significa que também converge. Ou seja, a convergência da série original não garante a convergência da série das magnitudes.
Passo 5
Para ilustrar que a recíproca não é válida, podemos usar a série harmônica alternada. Essa série é dada por:
Ela converge (por ser uma série alternada que atende aos critérios do teste da série alternada), mas se olharmos para a série das magnitudes:
Essa última é a série harmônica, que é conhecida por divergir. Então, aqui temos um exemplo onde sum an converge, mas sum |an| não converge.