Encontre uma representação por séries de potências das seguintes funções. Determine o raio de convergência.
f(x) = 2 / (1 - x)^3.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar uma representação em série de potências para a função e determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries de potências e a série geométrica.

Passo 2

Primeiro, lembremos da série geométrica básica, que é:
Essa série nos dará uma base para manipular e encontrar a série para .

Passo 3

Queremos encontrar uma série para . Para isso, vamos derivar a série geométrica duas vezes com relação a .

Passo 4

Primeira derivada da série geométrica:

Passo 5

Segunda derivada da série geométrica:

Passo 6

Agora, multiplicamos ambos os lados por 2 para obter :

Passo 7

Vamos mudar o índice de soma para simplificar a expressão. Seja , então . Substituindo, temos:

Passo 8

Portanto, a representação em série de potências para é:

Passo 9

Para determinar o raio de convergência, observamos que a série geométrica original converge para e as operações de derivação não alteram o raio de convergência. Portanto, o raio de convergência é 1.

Resposta

A representação por série de potências de é:
e o raio de convergência dessa série é igual a 1.

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