Encontre uma representação por séries de potências das seguintes funções. Determine o raio de convergência.
.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar uma representação em série de potências para a função
e determinar o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos utilizar conceitos de séries de potências e a série geométrica.
Passo 2
Primeiro, lembremos da série geométrica básica, que é:
Essa série nos dará uma base para manipular e encontrar a série para
.
Passo 3
Queremos encontrar uma série para
. Para isso, vamos derivar a série geométrica duas vezes com relação a
.
Passo 4
Primeira derivada da série geométrica:
Passo 5
Segunda derivada da série geométrica:
Passo 6
Agora, multiplicamos ambos os lados por 2 para obter
:
Passo 7
Vamos mudar o índice de soma para simplificar a expressão. Seja
, então
. Substituindo, temos:
Passo 8
Portanto, a representação em série de potências para
é:
Passo 9
Para determinar o raio de convergência, observamos que a série geométrica original converge para
e as operações de derivação não alteram o raio de convergência. Portanto, o raio de convergência é 1.
Resposta
A representação por série de potências de
é:
e o raio de convergência dessa série é igual a 1.
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para os quais a série
. converge e determine a soma.
Julgue os itens em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
3. ( ) Se então
. Não vale a recíproca desse resultado, isto é,
não implica que
. A série harmônica alternada pode ser utilizada para verificar que a recíproca desse resultado não é válida.
3. ( ) Se
Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
.