Nos exercícios abaixo, verifique se a série converge absolutamente. Qual teste foi usado?
sumn=1^infty (-n)^33^n.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se a série sumn=1^infty (-n)^33^n converge absolutamente. Convergência absoluta significa que, se a gente tirar o valor absoluto de cada termo da série e ainda assim a série converge, então a série original também converge de forma robusta. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que é ótimo para séries com termos que envolvem potências ou crescimento exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a série dos valores absolutos: sumn=1^infty |(-n)^33^n| = sumn=1^infty n^33^n. Nosso objetivo é verificar se essa série converge.

Passo 3

Agora, aplicamos o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série observando o limite do quociente entre termos consecutivos.

Passo 4

Calculamos o limite da razão entre o termo de índice n+1 e o termo de índice n:
L = limn to infty (n+1)^33^n+1n^33^n = limn to infty (n+1)^33^n+1 cdot 3^nn^3 = limn to infty (n+1)^33n^3

Passo 5

Simplificamos a express��o:
L = limn to infty (n+1)^33n^3 = limn to infty n^3 + 3n^2 + 3n + 13n^3 = limn to infty 1 + 3n + 3n^2 + 1n^33 = 13

Passo 6

Interpretamos o resultado do limite:
  • Se L < 1, a série converge absolutamente.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.
No nosso caso, L = 13 < 1, então a série dos valores absolutos converge.

Resposta

A série sumn=1^infty (-n)^33^n converge absolutamente pelo Teste da Razão.

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