Nos exercícios abaixo, verifique se a série converge absolutamente. Qual teste foi usado? .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se a série converge absolutamente. Convergência absoluta significa que, se a gente tirar o valor absoluto de cada termo da série e ainda assim a série converge, então a série original também converge de forma robusta. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que é ótimo para séries com termos que envolvem potências ou crescimento exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a série dos valores absolutos: . Nosso objetivo é verificar se essa série converge.
Passo 3
Agora, aplicamos o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série observando o limite do quociente entre termos consecutivos.
Passo 4
Calculamos o limite da razão entre o termo de índice n+1 e o termo de índice n:
L = limn to infty (n+1)^33^n+1n^33^n = limn to infty (n+1)^33^n+1 cdot 3^nn^3 = limn to infty (n+1)^33n^3
Passo 5
Simplificamos a express��o:
L = limn to infty (n+1)^33n^3 = limn to infty n^3 + 3n^2 + 3n + 13n^3 = limn to infty 1 + 3n + 3n^2 + 1n^33 = 13
Passo 6
Interpretamos o resultado do limite:
Se L < 1, a série converge absolutamente.
Se L > 1, a série diverge.
Se L = 1, o teste é inconclusivo.
No nosso caso, L = 13 < 1, então a série dos valores absolutos converge.
Resposta
A série sumn=1^infty (-n)^33^n converge absolutamente pelo Teste da Razão.