Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar o intervalo de convergência da série de potência . Isso significa que a gente quer descobrir para quais valores de essa série “funciona”, ou seja, converge para um número específico. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta legal para analisar a convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar se uma série infinita converge ou diverge calculando o limite do quociente entre termos consecutivos. A regra é simples:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste não dá resposta e precisamos tentar outro método.
No nosso caso, a sequência geral da série é .
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão na nossa série:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | x^n+1(n+1)+2x^nn+2 |
Simplificando isso:
L = limn to infty | x^n+1n+3 cdot n+2x^n | = limn to infty | x cdot n+2n+3 |
Passo 4
Agora, vamos calcular esse limite:
L = limn to infty | x cdot n+2n+3 | = |x| cdot limn to infty n+2n+3
De acordo com o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que |x| < 1 :
Isso significa que a série converge para todos os valores de cujo módulo é menor que 1.
Passo 6
Agora, precisamos verificar o que acontece nos extremos desse intervalo, ou seja, quando sumn=1^infty 1^nn+2 = sumn=1^infty 1n+2 e sumn=1^infty (-1)^nn+2 .
Para limn to infty 1n+2 = 0 :
A série se torna:
Isso é parecido com a série harmônica , que sabemos que diverge. Então, no ponto , a série não converge.
Para :
A série fica:
Essa é uma série alternada. Para verificar a convergência, podemos usar o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos são decrescentes e tendem a zero, a série converge.
Vemos que:
E é decrescente. Então, a série converge para .
Resposta
Portanto, o intervalo de convergência da série -1 <= x < 1 é: