Julgue os itens em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
5. ( ) A Regra de Leibnitz é um critério que apresenta condições suficientes para que uma série alternada seja convergente. Uma série alternada é uma série da forma:
5. ( ) A Regra de Leibnitz é um critério que apresenta condições suficientes para que uma série alternada seja convergente. Uma série alternada é uma série da forma:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. O enunciado nos apresenta uma afirmação sobre a Regra de Leibniz e séries alternadas. A matéria envolvida aqui é séries numéricas, mais especificamente séries alternadas e os critérios de convergência. Para resolver, vamos precisar conhecer o que é uma série alternada e como a Regra de Leibniz funciona para determinar a convergência dessas séries.
Passo 2
Uma série alternada é uma soma infinita onde os termos positivos e negativos se alternam. Ela é geralmente representada pela expressão:
Aqui,
são termos positivos que diminuem à medida que
aumenta.
Passo 3
A Regra de Leibniz fornece condições para que uma série alternada seja convergente. Segundo essa regra, uma série alternada
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
são positivos. - A sequência
é decrescente e tende a zero conforme cresce.
Passo 4
No enunciado, a afirmativa diz que a Regra de Leibniz apresenta condições suficientes para a convergência de uma série alternada e define corretamente o formato de uma série alternada. Como vimos, a Regra de Leibniz realmente oferece condições suficientes (não necessariamente necessárias) para garantir que a série alternada converge.
Passo 5
Portanto, a afirmativa está correta.
Resposta
Verdadeiro (V).
Exercícios relacionados
Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
.
Julgue os itens em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
3. ( ) Se então
. Não vale a recíproca desse resultado, isto é,
não implica que
. A série harmônica alternada pode ser utilizada para verificar que a recíproca desse resultado não é válida.
3. ( ) Se
Utilize a representação da série geométrica para obter uma representação em séries de potências para as seguintes funções. Determine o raio de convergência.
.
Encontre uma representação por séries de potências das seguintes funções. Determine o raio de convergência.
.