Utilize a representação da série geométrica para obter uma representação em séries de potências para as seguintes funções. Determine o raio de convergência.
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem a função
e precisa representar isso como uma série de potências usando a série geométrica. Além disso, tem que descobrir qual é o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar lembrar como funciona a série geométrica e aplicar ela para reescrever nossa função.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da série geométrica. A série geométrica é dada por:
onde
. Essa série é válida quando o valor absoluto de
é menor que 1, o que nos dá o intervalo de convergência.
Passo 3
Agora, vamos comparar nossa função
com a forma da série geométrica
. Para isso, identificamos que
no nosso caso é
. Isso significa que podemos reescrever nossa função usando a série geométrica substituindo
por
:
Passo 4
Agora que temos a série de potências, vamos simplificar um pouco mais:
Então, a representação em série de potências para
é:
Passo 5
Por último, precisamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série geométrica converge quando
. No nosso caso,
, então:
O raio de convergência
é o valor que multiplica
na desigualdade, então:
Resposta
A representação em série de potências para a função
é:
O raio de convergência dessa série é
.
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Julgue os itens em verdadeiro (V) ou falso (F). Justifique sua resposta.
5. ( ) A Regra de Leibnitz é um critério que apresenta condições suficientes para que uma série alternada seja convergente. Uma série alternada é uma série da forma:
5. ( ) A Regra de Leibnitz é um critério que apresenta condições suficientes para que uma série alternada seja convergente. Uma série alternada é uma série da forma:
Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
.
Encontre uma representação por séries de potências das seguintes funções. Determine o raio de convergência.
.
Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto
dado para as seguintes funções. Determine os valores de
para os quais a série converge.
.