Utilize a representação da série geométrica para obter uma representação em séries de potências para as seguintes funções. Determine o raio de convergência.
f(x) = 1 / (1 - 2 x).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem a função e precisa representar isso como uma série de potências usando a série geométrica. Além disso, tem que descobrir qual é o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar lembrar como funciona a série geométrica e aplicar ela para reescrever nossa função.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da série geométrica. A série geométrica é dada por:
onde . Essa série é válida quando o valor absoluto de é menor que 1, o que nos dá o intervalo de convergência.

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa função com a forma da série geométrica . Para isso, identificamos que no nosso caso é . Isso significa que podemos reescrever nossa função usando a série geométrica substituindo por :

Passo 4

Agora que temos a série de potências, vamos simplificar um pouco mais:
Então, a representação em série de potências para é:

Passo 5

Por último, precisamos determinar o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série geométrica converge quando . No nosso caso, , então:
O raio de convergência é o valor que multiplica na desigualdade, então:

Resposta

A representação em série de potências para a função é:
O raio de convergência dessa série é .

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5. ( ) A Regra de Leibnitz é um critério que apresenta condições suficientes para que uma série alternada seja convergente. Uma série alternada é uma série da forma: sumn=1^infty(-1)^n+1 bn
Encontre o intervalo de convergência das seguintes séries de potência:
sumn=1^infty x^nn+2.
Encontre uma representação por séries de potências das seguintes funções. Determine o raio de convergência.
f(x) = 2 / (1 + x)^2.
Encontre a série de Taylor ou Maclaurin em torno do ponto c dado para as seguintes funções. Determine os valores de x para os quais a série converge.
f(x) = ln(3 + x), c = 0.