Encontre um intervalo para que o PVI tenha solução única.
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão nos pede. Temos um problema de valor inicial (PVI) com a seguinte equação diferencial:
Nosso objetivo é encontrar um intervalo de valores de
onde essa equação tem uma solução única. Para isso, precisamos utilizar conceitos de existência e unicidade de soluções para equações diferenciais ordinárias. Vamos precisar verificar as condições que garantem que a solução exista e seja única nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma padrão. A equação dada é de segunda ordem e linear:
Podemos reescrevê-la isolando
:
Agora, a equação está na forma:
onde:
Passo 3
Para garantir a existência e unicidade da solução do PVI, usamos o Teorema de Existência e Unicidade para equações diferenciais de segunda ordem. Esse teorema nos diz que, se os coeficientes da equação (neste caso,
) e a função
forem contínuos em um intervalo contendo o ponto inicial
, então existe uma solução única nesse intervalo.
Passo 4
Vamos analisar a continuidade de
e
:
-
é contínuo para todo exceto , pois neste ponto o denominador se torna zero e a função não está definida. -
também é contínua para todo exceto , pelas mesmas razões.
Passo 5
Além da continuidade, precisamos que o coeficiente de
, que aqui é
(após dividirmos por
), seja diferente de zero no intervalo considerado. Como
é diferente de zero para
, e estamos interessados em um intervalo que contenha
, que é positivo e diferente de zero, estamos dentro das condições do teorema.
Passo 6
Agora, identificamos que o único ponto onde a continuidade não é garantida é
. Portanto, o intervalo em que podemos assegurar a existência e unicidade da solução deve excluir
.
Como nosso ponto inicial é
, que é positivo, o maior intervalo contínuo que contém
e exclui
é
.
Resposta
Portanto, o intervalo onde o PVI tem uma solução única é
.