Encontre um intervalo para que o PVI tenha solução única.
x^2 y'' + 5 y = e^x, y(3) = 0, y'(3) = 1

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão nos pede. Temos um problema de valor inicial (PVI) com a seguinte equação diferencial:
Nosso objetivo é encontrar um intervalo de valores de onde essa equação tem uma solução única. Para isso, precisamos utilizar conceitos de existência e unicidade de soluções para equações diferenciais ordinárias. Vamos precisar verificar as condições que garantem que a solução exista e seja única nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma padrão. A equação dada é de segunda ordem e linear:
Podemos reescrevê-la isolando :
Agora, a equação está na forma:
onde:

Passo 3

Para garantir a existência e unicidade da solução do PVI, usamos o Teorema de Existência e Unicidade para equações diferenciais de segunda ordem. Esse teorema nos diz que, se os coeficientes da equação (neste caso, ) e a função forem contínuos em um intervalo contendo o ponto inicial , então existe uma solução única nesse intervalo.

Passo 4

Vamos analisar a continuidade de e :
  • é contínuo para todo exceto , pois neste ponto o denominador se torna zero e a função não está definida.
  • também é contínua para todo exceto , pelas mesmas razões.

Passo 5

Além da continuidade, precisamos que o coeficiente de , que aqui é (após dividirmos por ), seja diferente de zero no intervalo considerado. Como é diferente de zero para , e estamos interessados em um intervalo que contenha , que é positivo e diferente de zero, estamos dentro das condições do teorema.

Passo 6

Agora, identificamos que o único ponto onde a continuidade não é garantida é . Portanto, o intervalo em que podemos assegurar a existência e unicidade da solução deve excluir .
Como nosso ponto inicial é , que é positivo, o maior intervalo contínuo que contém e exclui é .

Resposta

Portanto, o intervalo onde o PVI tem uma solução única é .

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