Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de
no intervalo dado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função
no intervalo [1/2, 4]. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para identificar onde a função atinge esses valores extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função
. A derivada vai nos ajudar a encontrar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos. A função é um produto de
e
, então vamos usar a regra do produto para derivar.
Sabendo que
e
, substituímos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe no intervalo [1/2, 4]. A derivada existe para todo
, então vamos resolver:
Isso acontece quando o numerador é zero:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Para encontrar os valores extremos, vamos avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo:
- Em
:
- Em
:
- Em
:
Resposta
No intervalo [1/2, 4], o valor máximo absoluto da função
é aproximadamente 0,1839 em
, e o valor mínimo absoluto é aproximadamente -2,7726 em
.
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é crescente ou decrescente e encontre os valores máximo e mínimo locais de
.
Encontre os números críticos da função.
Escreva a integral que nos dá a inversão da ordem de integração de
. Faça um esboço da região de integração.
Seja
a região limitada pelas curvas
e
. Escreva uma integral que representa a integral
após aplicar a mudança para coordenadas polares. Calcule
.