Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de no intervalo dado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função no intervalo [1/2, 4]. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, para identificar onde a função atinge esses valores extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função . A derivada vai nos ajudar a encontrar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos. A função é um produto de e , então vamos usar a regra do produto para derivar.
Sabendo que e , substituímos:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe no intervalo [1/2, 4]. A derivada existe para todo , então vamos resolver:
Isso acontece quando o numerador é zero:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Para encontrar os valores extremos, vamos avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo:
  1. Em :
  1. Em :
  1. Em :

Resposta

No intervalo [1/2, 4], o valor máximo absoluto da função é aproximadamente 0,1839 em , e o valor mínimo absoluto é aproximadamente -2,7726 em .

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