Escreva a integral que nos dá a inversão da ordem de integração de
. Faça um esboço da região de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para inverter a ordem de integração da integral dupla
e fazer um esboço da região de integração. Vamos trabalhar com integrais duplas e entender como mudar a ordem de integração. Para isso, vamos precisar entender a região onde
vai de 0 a 1, e para cada
,
varia de
a
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região de integração no plano
. Temos:
-
varia de 0 a 1. - Para cada
, varia de a .
Vamos esboçar essas curvas para entender melhor.
Passo 3
Vamos plotar as duas funções que limitam
:
-
: é uma curva que começa em (0,0) e cresce suavemente até (1,2). -
: é uma curva que também começa em (0,0) mas cresce mais rapidamente inicialmente e atinge (1,2).
Ambas as curvas se encontram em
e
. A região de integração está entre essas duas curvas quando
vai de 0 a 1.
Passo 4
Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar
em termos de
. Atualmente,
está limitado por 0 a 1, e
está limitado por
a
. Vamos resolver essas inequações para
em função de
:
- De
: resolvendo para , temos . - De
: resolvendo para , temos .
Passo 5
Agora, precisamos determinar os limites para
. Observando as curvas, quando
,
, e quando
,
. Portanto,
varia de 0 a 2.
Para cada valor de
,
varia entre a curva mais à esquerda e a curva mais à direita:
- À esquerda:
. - À direita:
.
Passo 6
Com isso, a integral com a ordem de integração invertida fica:
Resposta
A integral com a ordem de integração invertida é:
E o esboço da região de integração mostra as curvas
e
no intervalo de
de 0 a 1, delimitando a área entre elas.
Exercícios relacionados
Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de
no intervalo dado.
Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente e encontre os valores máximo e mínimo locais de
.
Seja
a região limitada pelas curvas
e
. Escreva uma integral que representa a integral
após aplicar a mudança para coordenadas polares. Calcule
.
Seja
o sólido interior à esfera
acima do plano
considere a integral
. Calcule
usando em coordenadas cilíndricas.