Escreva a integral que nos dá a inversão da ordem de integração de . Faça um esboço da região de integração.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para inverter a ordem de integração da integral dupla e fazer um esboço da região de integração. Vamos trabalhar com integrais duplas e entender como mudar a ordem de integração. Para isso, vamos precisar entender a região onde vai de 0 a 1, e para cada , varia de a .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região de integração no plano . Temos:
  • varia de 0 a 1.
  • Para cada , varia de a .
Vamos esboçar essas curvas para entender melhor.

Passo 3

Vamos plotar as duas funções que limitam :
  1. : é uma curva que começa em (0,0) e cresce suavemente até (1,2).
  2. : é uma curva que também começa em (0,0) mas cresce mais rapidamente inicialmente e atinge (1,2).
Ambas as curvas se encontram em e . A região de integração está entre essas duas curvas quando vai de 0 a 1.

Passo 4

Para inverter a ordem de integração, precisamos expressar em termos de . Atualmente, está limitado por 0 a 1, e está limitado por a . Vamos resolver essas inequações para em função de :
  • De : resolvendo para , temos .
  • De : resolvendo para , temos .

Passo 5

Agora, precisamos determinar os limites para . Observando as curvas, quando , , e quando , . Portanto, varia de 0 a 2.
Para cada valor de , varia entre a curva mais à esquerda e a curva mais à direita:
  • À esquerda: .
  • À direita: .

Passo 6

Com isso, a integral com a ordem de integração invertida fica:

Resposta

A integral com a ordem de integração invertida é:
E o esboço da região de integração mostra as curvas e no intervalo de de 0 a 1, delimitando a área entre elas.

Exercícios relacionados

Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de no intervalo dado.
Encontre os intervalos nos quais é crescente ou decrescente e encontre os valores máximo e mínimo locais de .
Seja a região limitada pelas curvas e . Escreva uma integral que representa a integral após aplicar a mudança para coordenadas polares. Calcule .
Seja o sólido interior à esfera acima do plano considere a integral . Calcule usando em coordenadas cilíndricas.