Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente. Encontre os valores de máximo e mínimo local de f. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
f(x) = x / (1 + x)^(2).

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para analisar a função . Precisamos determinar onde a função é crescente ou decrescente, encontrar seus valores de máximo e mínimo local, além de identificar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Para isso, vamos utilizar conceitos de derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções em relação ao seu crescimento, decrescimento e concavidade.

Passo 2

Determinar a primeira derivada :
A primeira derivada nos indica a taxa de variação da função. Vamos derivar em relação a :
Aplicamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:

Passo 3

Encontrar os pontos críticos:
Pontos críticos ocorrem onde ou onde não está definida.
O numerador quando . O denominador nunca é zero para , então os pontos críticos são e .

Passo 4

Determinar onde a função é crescente ou decrescente:
Analisamos o sinal de nos intervalos determinados pelos pontos críticos.
  1. Intervalo :
    • Vamos escolher :
    • Portanto, é decrescente nesse intervalo.
  2. Intervalo :
    • Vamos escolher :
    • Portanto, é crescente nesse intervalo.
  3. Intervalo :
    • Vamos escolher :
    • Portanto, é decrescente nesse intervalo.

Passo 5

Encontrar os valores de máximo e mínimo local:
Utilizamos o teste da derivada para determinar se os pontos críticos são máximos ou mínimos.
  1. No ponto :
    • Antes de , é negativa.
    • Depois de , é positiva.
    • Isso indica uma mínima local em .
  2. No ponto :
    • Antes de , é positiva.
    • Depois de , é negativa.
    • Isso indica um máximo local em .
Calculando os valores:
  • Mínimo local em :
    Na verdade, não está no domínio da função, então não há mínimo local.
  • Máximo local em :

Passo 6

Determinar a segunda derivada para concavidade e pontos de inflexão:
Primeiro, encontraremos a segunda derivada.
Derivando novamente:
Simplificando:

Passo 7

Encontrar os intervalos de concavidade e pontos de inflexão:
Analisamos o sinal de :
  1. Determinar onde :
    Resolvendo a equação quadrática:
    Novamente, não pertence ao domínio, então consideramos apenas .
  2. Analisar o sinal de nos intervalos:
  • Intervalo :
    • Vamos escolher :
    • Portanto, é côncava para baixo nesse intervalo.
  • Intervalo :
    • Vamos escolher :
    • Portanto, é côncava para cima nesse intervalo.
  1. Ponto de inflexão:
    • Ocorre quando a concavidade muda, ou seja, em .

Resposta

A função é:
  • Decrescente nos intervalos e .
  • Crescente no intervalo .
  • Possui um máximo local em com valor .
  • É côncava para baixo em e côncava para cima em .
  • Possui um ponto de inflexão em .

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