Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente. Encontre os valores de máximo e mínimo local de
. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para analisar a função
. Precisamos determinar onde a função é crescente ou decrescente, encontrar seus valores de máximo e mínimo local, além de identificar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Para isso, vamos utilizar conceitos de derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento das funções em relação ao seu crescimento, decrescimento e concavidade.
Passo 2
Determinar a primeira derivada
:
A primeira derivada nos indica a taxa de variação da função. Vamos derivar
em relação a
:
Aplicamos a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Passo 3
Encontrar os pontos críticos:
Pontos críticos ocorrem onde
ou onde
não está definida.
O numerador
quando
. O denominador nunca é zero para
, então os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Determinar onde a função é crescente ou decrescente:
Analisamos o sinal de
nos intervalos determinados pelos pontos críticos.
-
Intervalo
: - Vamos escolher
: -
- Portanto,
é decrescente nesse intervalo.
- Vamos escolher
-
Intervalo
: - Vamos escolher
: -
- Portanto,
é crescente nesse intervalo.
- Vamos escolher
-
Intervalo
: - Vamos escolher
: -
- Portanto,
é decrescente nesse intervalo.
- Vamos escolher
Passo 5
Encontrar os valores de máximo e mínimo local:
Utilizamos o teste da derivada para determinar se os pontos críticos são máximos ou mínimos.
-
No ponto
: - Antes de
, é negativa. - Depois de
, é positiva. - Isso indica uma mínima local em
.
- Antes de
-
No ponto
: - Antes de
, é positiva. - Depois de
, é negativa. - Isso indica um máximo local em
.
- Antes de
Calculando os valores:
-
Mínimo local em
: Na verdade,não está no domínio da função, então não há mínimo local. -
Máximo local em
:
Passo 6
Determinar a segunda derivada
para concavidade e pontos de inflexão:
Primeiro, encontraremos a segunda derivada.
Derivando novamente:
Simplificando:
Passo 7
Encontrar os intervalos de concavidade e pontos de inflexão:
Analisamos o sinal de
:
-
Determinar onde
: Resolvendo a equação quadrática:Novamente,não pertence ao domínio, então consideramos apenas . -
Analisar o sinal de
nos intervalos:
-
Intervalo
: - Vamos escolher
: -
- Portanto,
é côncava para baixo nesse intervalo.
- Vamos escolher
-
Intervalo
: - Vamos escolher
: -
- Portanto,
é côncava para cima nesse intervalo.
- Vamos escolher
- Ponto de inflexão:
- Ocorre quando a concavidade muda, ou seja, em
.
- Ocorre quando a concavidade muda, ou seja, em
Resposta
A função
é:
- Decrescente nos intervalos
e . - Crescente no intervalo
. - Possui um máximo local em
com valor . - É côncava para baixo em
e côncava para cima em . - Possui um ponto de inflexão em
.
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tem exatamente uma raiz real.
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.
Se uma barra de alumínio e outra de ferro do mesmo tamanho forem submetidas a uma mesma força externa que tende a comprimi-las, então a barra de alumínio irá se comprimir três vezes mais que a barra de ferro.
Use o roteiro para esboçar o gráfico.
.