Mostre que a equação
tem exatamente uma raiz real.
Passo 1
Vamos lá! A gente tem que mostrar que a equação
tem exatamente uma raiz real. Essa é uma questão de Álgebra, mais especificamente de Análise de Funções. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de continuidade, derivadas e o Teorema de Bolzano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função envolvida. A equação
pode ser reescrita como
. Queremos encontrar os valores de
que fazem
, ou seja, as raízes da função.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento da função
. Para isso, precisamos verificar se a função é contínua. Como estamos lidando com um polinômio, sabemos que ele é contínuo para todo valor real de
.
Passo 4
Em seguida, vamos utilizar o Teorema de Bolzano, que diz que se uma função contínua muda de sinal em um intervalo
, então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. Vamos calcular
para alguns valores de
:
-
Para
: -
Para
:
Vemos que
e
. A função mudou de negativo para positivo, então, pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos uma raiz entre
e
.
Passo 5
Mas queremos mostrar que essa é a única raiz real. Para isso, vamos analisar a derivada da função
, que nos ajuda a entender se a função está aumentando ou diminuindo.
A derivada de
é:
Note que
é sempre não negativo (porque qualquer número elevado a uma potência par dá um resultado positivo ou zero) e, portanto,
é sempre maior que zero para todo
real.
Passo 6
Como
para todo
, isso significa que a função
é estritamente crescente em todo o seu domínio. Uma função que sempre está aumentando só pode cruzar o eixo
uma única vez. Portanto, a equação
tem exatamente uma raiz real.
Resposta
A equação
tem exatamente uma raiz real.