Mostre que a equação x^5 + 10x + 3 = 0 tem exatamente uma raiz real.

Passo 1

Vamos lá! A gente tem que mostrar que a equação tem exatamente uma raiz real. Essa é uma questão de Álgebra, mais especificamente de Análise de Funções. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de continuidade, derivadas e o Teorema de Bolzano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função envolvida. A equação pode ser reescrita como . Queremos encontrar os valores de que fazem , ou seja, as raízes da função.

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento da função . Para isso, precisamos verificar se a função é contínua. Como estamos lidando com um polinômio, sabemos que ele é contínuo para todo valor real de .

Passo 4

Em seguida, vamos utilizar o Teorema de Bolzano, que diz que se uma função contínua muda de sinal em um intervalo , então existe pelo menos uma raiz nesse intervalo. Vamos calcular para alguns valores de :
  • Para :
  • Para :
Vemos que e . A função mudou de negativo para positivo, então, pelo Teorema de Bolzano, existe pelo menos uma raiz entre e .

Passo 5

Mas queremos mostrar que essa é a única raiz real. Para isso, vamos analisar a derivada da função , que nos ajuda a entender se a função está aumentando ou diminuindo.
A derivada de é:
Note que é sempre não negativo (porque qualquer número elevado a uma potência par dá um resultado positivo ou zero) e, portanto, é sempre maior que zero para todo real.

Passo 6

Como para todo , isso significa que a função é estritamente crescente em todo o seu domínio. Uma função que sempre está aumentando só pode cruzar o eixo uma única vez. Portanto, a equação tem exatamente uma raiz real.

Resposta

A equação tem exatamente uma raiz real.

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