Use o roteiro para esboçar o gráfico.
f(x) = (x + 1) / raiz(x^2 + 1).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa esboçar o gráfico da função . Para isso, vamos usar conceitos de funções e gráficos, como domínio, assíntotas, interceptos e comportamento da função conforme aumenta ou diminui. Vamos precisar de álgebra básica e um pouco de cálculo para entender como essa função se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função, ou seja, para quais valores de a função está definida. Olhando para , o denominador precisa ser maior que zero porque a raiz quadrada não pode ser zero ou negativa.
Sabemos que é sempre positivo para qualquer , então a função está definida para todos os números reais.
Domínio: (todos os reais).

Passo 3

Agora, vamos encontrar os interceptos da função, ou seja, onde o gráfico cruza os eixos e .
  • Intercepto com o eixo y: É o valor de quando .
    Então, o intercepto com o eixo y é .
  • Intercepto com o eixo x: É o valor de quando .
    Então, o intercepto com o eixo x é .

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da função para tendendo ao infinito e ao menos infinito. Isso nos ajuda a identificar possíveis assíntotas horizontais.
Calculemos o limite de quando vai para e :
Então, temos duas assíntotas horizontais:
  • quando vai para
  • quando vai para

Passo 5

Vamos agora descobrir se a função tem algum ponto de máximo ou mínimo, ou seja, onde a função atinge seus valores mais altos ou baixos. Para isso, usamos a derivada.
Primeiro, calculamos usando a regra do quociente:
Simplificando:
Fatorando :
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a zero:
Então, temos um ponto crítico em . Para saber se é máximo ou mínimo, observamos o sinal da derivada ao redor desse ponto:
  • Para , (função crescente)
  • Para , (função decrescente)
Isso indica que é um ponto de máximo.
Calculando :
Então, o ponto de máximo é .

Passo 6

Com todas as informações coletadas, vamos resumir:
  • Domínio: Todos os reais.
  • Interceptos: no eixo y e no eixo x.
  • Assíntotas horizontais: e .
  • Ponto de máximo: .
  • Comportamento: Cresce até e depois decresce.
Agora, podemos desenhar o gráfico:
  1. Marque os interceptos no gráfico.
  2. Desenhe as assíntotas horizontais como linhas tracejadas.
  3. Plote o ponto de máximo.
  4. Conecte tudo de maneira suave, lembrando que a função se aproxima das assíntotas conforme vai para .

Resposta

O gráfico de apresenta um intercepto no ponto , outro no , assíntotas horizontais nas linhas e , com um ponto de máximo em . A função cresce até e depois decresce, aproximando-se das assíntotas conforme vai para .

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