Use o roteiro para esboçar o gráfico.
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa esboçar o gráfico da função
. Para isso, vamos usar conceitos de funções e gráficos, como domínio, assíntotas, interceptos e comportamento da função conforme
aumenta ou diminui. Vamos precisar de álgebra básica e um pouco de cálculo para entender como essa função se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função, ou seja, para quais valores de
a função está definida. Olhando para
, o denominador
precisa ser maior que zero porque a raiz quadrada não pode ser zero ou negativa.
Sabemos que
é sempre positivo para qualquer
, então a função está definida para todos os números reais.
Domínio:
(todos os reais).
Passo 3
Agora, vamos encontrar os interceptos da função, ou seja, onde o gráfico cruza os eixos
e
.
-
Intercepto com o eixo y: É o valor de
quando . Então, o intercepto com o eixo y é. -
Intercepto com o eixo x: É o valor de
quando . Então, o intercepto com o eixo x é.
Passo 4
Vamos analisar o comportamento da função para
tendendo ao infinito e ao menos infinito. Isso nos ajuda a identificar possíveis assíntotas horizontais.
Calculemos o limite de
quando
vai para
e
:
Então, temos duas assíntotas horizontais:
-
quando vai para -
quando vai para
Passo 5
Vamos agora descobrir se a função tem algum ponto de máximo ou mínimo, ou seja, onde a função atinge seus valores mais altos ou baixos. Para isso, usamos a derivada.
Primeiro, calculamos
usando a regra do quociente:
Simplificando:
Fatorando
:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos
a zero:
Então, temos um ponto crítico em
. Para saber se é máximo ou mínimo, observamos o sinal da derivada ao redor desse ponto:
- Para
, (função crescente) - Para
, (função decrescente)
Isso indica que
é um ponto de máximo.
Calculando
:
Então, o ponto de máximo é
.
Passo 6
Com todas as informações coletadas, vamos resumir:
- Domínio: Todos os reais.
- Interceptos:
no eixo y e no eixo x. - Assíntotas horizontais:
e . - Ponto de máximo:
. - Comportamento: Cresce até
e depois decresce.
Agora, podemos desenhar o gráfico:
- Marque os interceptos no gráfico.
- Desenhe as assíntotas horizontais como linhas tracejadas.
- Plote o ponto de máximo.
- Conecte tudo de maneira suave, lembrando que a função se aproxima das assíntotas conforme
vai para .
Resposta
O gráfico de
apresenta um intercepto no ponto
, outro no
, assíntotas horizontais nas linhas
e
, com um ponto de máximo em
. A função cresce até
e depois decresce, aproximando-se das assíntotas conforme
vai para
.
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Se uma barra de alumínio e outra de ferro do mesmo tamanho forem submetidas a uma mesma força externa que tende a comprimi-las, então a barra de alumínio irá se comprimir três vezes mais que a barra de ferro.
Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente. Encontre os valores de máximo e mínimo local de
. Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
.
Encontre os números críticos da função
.
A matriz quadrada
cujos vetores linha são dados pelos vetores
e
possui determinante nulo se, e somente se,
.