integral 3x^2-4 x+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Essa questão envolve o cálculo de integrais racionais, especificamente onde o denominador é um polinômio de segundo grau. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado no denominador e usar uma técnica de integração adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador x^2 - 4x + 1 = (x^2 - 4x + 4) - 3 = (x - 2)^2 - 3 . Como é um polinômio de segundo grau que não se fatoriza facilmente, vamos completar o quadrado para simplificar a expressão. Completar o quadrado significa reescrever a expressão de forma que ela tenha a forma .
Então, completando o quadrado:

Passo 3

Agora, substituímos essa forma na integral original:
integral 3x^2 - 4x + 1 , dx = integral 3(x - 2)^2 - 3 , dx

Passo 4

Essa expressão se parece com a integral da forma u = x - 2 e a^2 = 3 Rightarrow a = raiz3 , cuja antiderivada é . Vamos identificar e aqui:

Passo 5

Aplicando a fórmula de integração:
integral 3(x - 2)^2 - 3 , dx = 3 cdot 12raiz3 ln|(x - 2) - raiz3(x - 2) + raiz3| + C
Simplificando os coeficientes:
32raiz3 = raiz32

Resposta

A integral é igual a .

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