Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Use as informações das partes (a)-© para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa analisar a função para descobrir onde ela está crescendo ou diminuindo, identificar os pontos máximos e mínimos locais, entender a concavidade dela e encontrar os pontos de inflexão. Além disso, vamos usar todas essas informações para desenhar o gráfico da função. Para isso, vamos usar derivadas, que são ferramentas poderosas do cálculo para analisar o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde a função está crescendo ou diminuindo. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada da função, que nos dá a inclinação da reta tangente em cada ponto. A derivada nos ajuda a entender se a função está subindo (crescendo) ou descendo (diminuindo).
A função dada é:
Calculando a primeira derivada:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, onde a derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos são importantes porque podem indicar onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa, além de possíveis máximos e mínimos locais.
Resolvendo :
Dividindo todos os termos por 3 para simplificar:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos duas soluções:

Passo 4

Para determinar onde a função está crescendo ou diminuindo, vamos analisar o sinal da primeira derivada em intervalos definidos pelos pontos críticos e .
  1. Intervalo :
    Escolha um valor, por exemplo, .
    Como , a função está crescendo nesse intervalo.
  2. Intervalo :
    Escolha .
    Como , a função está decrescendo nesse intervalo.
  3. Intervalo :
    Escolha .
    Como , a função está crescendo novamente nesse intervalo.

Passo 5

Vamos agora identificar os valores máximos e mínimos locais. Os pontos e são candidatos, já que a derivada muda de sinal nesses pontos.
  1. Em :
    A derivada muda de positiva para negativa, indicando que esse ponto é um máximo local.
  2. Em :
    A derivada muda de negativa para positiva, indicando que esse ponto é um mínimo local.
Para encontrar os valores correspondentes de :
  • Para :
    Portanto, o máximo local é .
  • Para :
    Portanto, o mínimo local é .

Passo 6

Agora, vamos analisar a concavidade da função e encontrar os pontos de inflexão. Para isso, calculamos a segunda derivada, que nos informa se a função está “abrindo para cima” ou “para baixo”.
Calculando a segunda derivada:
Vamos encontrar onde para identificar possíveis pontos de inflexão:
Agora, analisamos o sinal de nos intervalos definidos por :
  1. Intervalo :
    Escolha .
    Como , a função é côncava para baixo nesse intervalo.
  2. Intervalo :
    Escolha .
    Como , a função é côncava para cima nesse intervalo.
Portanto, em , há um ponto de inflexão, já que a concavidade muda.
Para encontrar o valor de em :
Então, o ponto de inflexão é .

Passo 7

Com todas as informações obtidas, vamos esboçar o gráfico da função:
  • Crescimento e Decrecimento:
    • Cresce em e .
    • Decresce em .
  • Máximos e Mínimos:
    • Máximo local em .
    • Mínimo local em .
  • Concavidade e Ponto de Inflexão:
    • Côncava para baixo em .
    • Côncava para cima em .
    • Ponto de inflexão em .
Com esses pontos, dá pra desenhar o gráfico da função . Se tiver acesso a uma ferramenta gráfica, dá pra verificar se o esboço está certinho!

Resposta

  • Intervalos de Crescimento: e .
  • Intervalo de Decrecimento: .
  • Máximo Local: .
  • Mínimo Local: .
  • Concavidade para Baixo: .
  • Concavidade para Cima: .
  • Ponto de Inflexão: .
Com essas informações, você pode esboçar o gráfico da função e verificar usando uma ferramenta gráfica!

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Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Use as informações das partes (a)-© para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.
Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Use as informações das partes (a)-© para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.