Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Use as informações das partes (a)-© para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.
Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Use as informações das partes (a)-© para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa analisar a função
para descobrir onde ela está crescendo ou diminuindo, identificar os pontos máximos e mínimos locais, entender a concavidade dela e encontrar os pontos de inflexão. Além disso, vamos usar todas essas informações para desenhar o gráfico da função. Para isso, vamos usar derivadas, que são ferramentas poderosas do cálculo para analisar o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde a função está crescendo ou diminuindo. Para isso, precisamos calcular a primeira derivada da função, que nos dá a inclinação da reta tangente em cada ponto. A derivada nos ajuda a entender se a função está subindo (crescendo) ou descendo (diminuindo).
A função dada é:
Calculando a primeira derivada:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, onde a derivada é igual a zero ou não existe. Esses pontos são importantes porque podem indicar onde a função muda de crescente para decrescente ou vice-versa, além de possíveis máximos e mínimos locais.
Resolvendo
:
Dividindo todos os termos por 3 para simplificar:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos duas soluções:
Passo 4
Para determinar onde a função está crescendo ou diminuindo, vamos analisar o sinal da primeira derivada em intervalos definidos pelos pontos críticos
e
.
-
Intervalo
:
Escolha um valor, por exemplo,. Como, a função está crescendo nesse intervalo. -
Intervalo
:
Escolha. Como, a função está decrescendo nesse intervalo. -
Intervalo
:
Escolha. Como, a função está crescendo novamente nesse intervalo.
Passo 5
Vamos agora identificar os valores máximos e mínimos locais. Os pontos
e
são candidatos, já que a derivada muda de sinal nesses pontos.
-
Em
:
A derivada muda de positiva para negativa, indicando que esse ponto é um máximo local. -
Em
:
A derivada muda de negativa para positiva, indicando que esse ponto é um mínimo local.
Para encontrar os valores correspondentes de
:
-
Para
: Portanto, o máximo local é. -
Para
: Portanto, o mínimo local é.
Passo 6
Agora, vamos analisar a concavidade da função e encontrar os pontos de inflexão. Para isso, calculamos a segunda derivada, que nos informa se a função está “abrindo para cima” ou “para baixo”.
Calculando a segunda derivada:
Vamos encontrar onde
para identificar possíveis pontos de inflexão:
Agora, analisamos o sinal de
nos intervalos definidos por
:
-
Intervalo
:
Escolha. Como, a função é côncava para baixo nesse intervalo. -
Intervalo
:
Escolha. Como, a função é côncava para cima nesse intervalo.
Portanto, em
, há um ponto de inflexão, já que a concavidade muda.
Para encontrar o valor de
em
:
Então, o ponto de inflexão é
.
Passo 7
Com todas as informações obtidas, vamos esboçar o gráfico da função:
-
Crescimento e Decrecimento:
- Cresce em
e . - Decresce em
.
- Cresce em
-
Máximos e Mínimos:
- Máximo local em
. - Mínimo local em
.
- Máximo local em
-
Concavidade e Ponto de Inflexão:
- Côncava para baixo em
. - Côncava para cima em
. - Ponto de inflexão em
.
- Côncava para baixo em
Com esses pontos, dá pra desenhar o gráfico da função
. Se tiver acesso a uma ferramenta gráfica, dá pra verificar se o esboço está certinho!
Resposta
- Intervalos de Crescimento:
e . - Intervalo de Decrecimento:
. - Máximo Local:
. - Mínimo Local:
. - Concavidade para Baixo:
. - Concavidade para Cima:
. - Ponto de Inflexão:
.
Com essas informações, você pode esboçar o gráfico da função e verificar usando uma ferramenta gráfica!
Exercícios relacionados
Uma escada com
de comprimento está apoiada contra uma parede vertical. Se a base da escada desliza afastando-se da parede a uma velocidade de
, quão rápido está variando o ângulo entre o topo da escada e a parede quando o ângulo é
rad?
(Resposta: )
(Resposta:
Um homem começa a correr para o norte a
a partir de um ponto
. Cinco minutos depois uma mulher começa a correr para o sul a
a partir de um ponto que está a
a leste de P. A que taxa essas pessoas estão se separando 15 minutos depois da mulher começar a andar?
(Resposta: )
(Resposta:
Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Use as informações das partes (a)-© para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.
Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Use as informações das partes (a)-© para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.
Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Use as informações das partes (a)-© para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.
Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Use as informações das partes (a)-© para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.