Uma escada com
de comprimento está apoiada contra uma parede vertical. Se a base da escada desliza afastando-se da parede a uma velocidade de
, quão rápido está variando o ângulo entre o topo da escada e a parede quando o ângulo é
rad?
(Resposta:
)
(Resposta:
Passo 1
Vamos resolver um problema de taxas relacionadas. Temos uma escada de
apoiada contra uma parede. A base da escada está se afastando da parede a uma velocidade de
. Queremos descobrir quão rápido o ângulo entre a escada e a parede está mudando quando esse ângulo é de
radianos.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um triângulo retângulo onde:
- A hipotenusa é a escada com comprimento fixo de
. - Um cateto é a altura da escada na parede, que chamaremos de
. - O outro cateto é a distância da base da escada até a parede, que chamaremos de
.
Passo 3
Sabemos que a relação entre os lados de um triângulo retângulo é dada pelo teorema de Pitágoras:
Passo 4
Queremos encontrar a taxa de variação do ângulo
em relação ao tempo, ou seja,
. Para isso, vamos relacionar
com
e
usando funções trigonométricas. Sabemos que:
Passo 5
Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação ao tempo
para relacionar as taxas de variação:
Passo 6
Usando o teorema de Pitágoras, podemos relacionar
com
. Diferenciando
em relação ao tempo:
Simplificando:
Isolando
:
Passo 7
Quando
radianos, sabemos que
(pois
). Então, substituindo na equação:
Passo 8
Voltando à equação da derivada do cosseno:
Passo 9
Resolvendo para
:
Resposta
O ângulo está variando a uma taxa de
quando o ângulo é
radianos.