Uma escada com 10 m de comprimento está apoiada contra uma parede vertical. Se a base da escada desliza afastando-se da parede a uma velocidade de 2 m/s, quão rápido está variando o ângulo entre o topo da escada e a parede quando o ângulo é pi / 4 rad?
(Resposta: raiz(2) / 5 rad/s )

Passo 1

Vamos resolver um problema de taxas relacionadas. Temos uma escada de apoiada contra uma parede. A base da escada está se afastando da parede a uma velocidade de . Queremos descobrir quão rápido o ângulo entre a escada e a parede está mudando quando esse ângulo é de radianos.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um triângulo retângulo onde:
  • A hipotenusa é a escada com comprimento fixo de .
  • Um cateto é a altura da escada na parede, que chamaremos de y.
  • O outro cateto é a distância da base da escada até a parede, que chamaremos de x.

Passo 3

Sabemos que a relação entre os lados de um triângulo retângulo é dada pelo teorema de Pitágoras:

Passo 4

Queremos encontrar a taxa de variação do ângulo theta em relação ao tempo, ou seja, . Para isso, vamos relacionar theta com x e y usando funções trigonométricas. Sabemos que:

Passo 5

Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação ao tempo t para relacionar as taxas de variação:

Passo 6

Usando o teorema de Pitágoras, podemos relacionar com . Diferenciando em relação ao tempo:
Simplificando:
Isolando :

Passo 7

Quando radianos, sabemos que (pois ). Então, substituindo na equação:

Passo 8

Voltando à equação da derivada do cosseno:

Passo 9

Resolvendo para :

Resposta

O ângulo está variando a uma taxa de quando o ângulo é radianos.

Exercícios relacionados