Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Use as informações das partes (a)-© para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente analisar a função de várias maneiras: descobrir onde ela está crescendo ou decrescendo, encontrar seus pontos máximos e mínimos, identificar onde a curva é côncava ou convexa e pontos de inflexão, e por fim, desenhar o gráfico usando essas informações. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, que envolve derivadas para analisar o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, precisamos encontrar a primeira derivada da função, que nos diz a taxa de variação de em relação a .
A função é .
Calculando a primeira derivada:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe, pois nesses pontos a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa.
Resolvendo :
Então, o único ponto crítico é .

Passo 4

Vamos analisar o sinal da derivada em intervalos ao redor do ponto crítico para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
  • Para :
    Escolha :
    (negativo)
    Então, a função está decrescendo nesse intervalo.
  • Para :
    Escolha :
    (positivo)
    Então, a função está crescendo nesse intervalo.

Passo 5

Com isso, concluímos que:
  • A função é decrescente para .
  • A função é crescente para .

Passo 6

Agora, vamos encontrar os valores máximos e mínimos locais. Sabemos que nos pontos críticos a função pode ter extremos locais. Vamos avaliar a segunda derivada para determinar a concavidade e confirmar se é um máximo ou mínimo.
Calculando a segunda derivada:
Em :
(positivo)
Como a segunda derivada é positiva, significa que a função tem um mínimo local em .
Para encontrar o valor mínimo:

Passo 7

Então, a função possui um mínimo local em . Não há pontos máximos locais, já que a função tende ao infinito positivo quando vai para .

Passo 8

Agora, vamos analisar a concavidade e os pontos de inflexão usando a segunda derivada .
  • Para concavidade:
    • Se , a função é côncava para cima.
    • Se , a função é côncava para baixo.
Observando :
para todo , já que é sempre não negativo.
Isso significa que a função é sempre côncava para cima e não possui pontos de inflexão, já que a concavidade não muda.

Passo 9

Com todas essas informações, podemos resumir:
  • Crescimento:
    • Crescente para
    • Decrescente para
  • Extremos:
    • Mínimo local em
    • Sem máximo local
  • Concavidade:
    • Sempre côncava para cima
    • Sem pontos de inflexão

Passo 10

Por fim, vamos esboçar o gráfico da função :
  1. Ponto de mínimo em .
  2. A função é decrescente antes de e crescente depois.
  3. Sempre côncava para cima, então a curva tem uma forma similar a uma parábola com “sorriso”.
Para verificar, você pode usar uma ferramenta gráfica como o Desmos ou GeoGebra e plotar para observar que o esboço coincide com nossas análises.

Resposta

A função é decrescente para , crescente para , possui um mínimo local em , é sempre côncava para cima e não tem pontos de inflexão. O esboço do gráfico segue essas características.

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Uma escada com de comprimento está apoiada contra uma parede vertical. Se a base da escada desliza afastando-se da parede a uma velocidade de , quão rápido está variando o ângulo entre o topo da escada e a parede quando o ângulo é rad?
(Resposta: )
Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
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