Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Use as informações das partes (a)-© para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.
Encontre os valores máximos ou mínimos locais.
Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
Use as informações das partes (a)-© para esboçar o gráfico. Verifique seu trabalho com uma ferramenta gráfica, se você tiver uma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente analisar a função
de várias maneiras: descobrir onde ela está crescendo ou decrescendo, encontrar seus pontos máximos e mínimos, identificar onde a curva é côncava ou convexa e pontos de inflexão, e por fim, desenhar o gráfico usando essas informações. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, que envolve derivadas para analisar o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, precisamos encontrar a primeira derivada da função, que nos diz a taxa de variação de
em relação a
.
A função é
.
Calculando a primeira derivada:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada é zero ou não existe, pois nesses pontos a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa.
Resolvendo
:
Então, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Vamos analisar o sinal da derivada em intervalos ao redor do ponto crítico para determinar onde a função está crescendo ou decrescendo.
-
Para
:
Escolha: (negativo) Então, a função está decrescendo nesse intervalo. -
Para
:
Escolha: (positivo) Então, a função está crescendo nesse intervalo.
Passo 5
Com isso, concluímos que:
- A função é decrescente para
. - A função é crescente para
.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os valores máximos e mínimos locais. Sabemos que nos pontos críticos a função pode ter extremos locais. Vamos avaliar a segunda derivada para determinar a concavidade e confirmar se é um máximo ou mínimo.
Calculando a segunda derivada:
Em
:
Como a segunda derivada é positiva, significa que a função tem um mínimo local em
.
Para encontrar o valor mínimo:
Passo 7
Então, a função possui um mínimo local em
. Não há pontos máximos locais, já que a função tende ao infinito positivo quando
vai para
.
Passo 8
Agora, vamos analisar a concavidade e os pontos de inflexão usando a segunda derivada
.
- Para concavidade:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
- Se
Observando
:
Isso significa que a função é sempre côncava para cima e não possui pontos de inflexão, já que a concavidade não muda.
Passo 9
Com todas essas informações, podemos resumir:
-
Crescimento:
- Crescente para
- Decrescente para
- Crescente para
-
Extremos:
- Mínimo local em
- Sem máximo local
- Mínimo local em
-
Concavidade:
- Sempre côncava para cima
- Sem pontos de inflexão
Passo 10
Por fim, vamos esboçar o gráfico da função
:
- Ponto de mínimo em
. - A função é decrescente antes de
e crescente depois. - Sempre côncava para cima, então a curva tem uma forma similar a uma parábola com “sorriso”.
Para verificar, você pode usar uma ferramenta gráfica como o Desmos ou GeoGebra e plotar
para observar que o esboço coincide com nossas análises.
Resposta
A função
é decrescente para
, crescente para
, possui um mínimo local em
, é sempre côncava para cima e não tem pontos de inflexão. O esboço do gráfico segue essas características.
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Uma escada com
de comprimento está apoiada contra uma parede vertical. Se a base da escada desliza afastando-se da parede a uma velocidade de
, quão rápido está variando o ângulo entre o topo da escada e a parede quando o ângulo é
rad?
(Resposta: )
(Resposta:
Encontre os intervalos em que a função é crescente ou decrescente.
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