Um homem começa a correr para o norte a
a partir de um ponto
. Cinco minutos depois uma mulher começa a correr para o sul a
a partir de um ponto que está a
a leste de P. A que taxa essas pessoas estão se separando 15 minutos depois da mulher começar a andar?
(Resposta:
)
(Resposta:
Passo 1
Vamos começar entendendo o problema. Temos um homem que começa a correr para o norte a uma velocidade de
a partir do ponto
. Depois de cinco minutos, uma mulher começa a correr para o sul a
partindo de um ponto que está a
a leste de
. Queremos descobrir a que velocidade essas duas pessoas estão se separando 15 minutos depois que a mulher começou a correr.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento retilíneo uniforme e cálculo de taxas de variação.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o tempo:
- O homem já está correndo há 15 + 5 = 20 minutos quando a mulher começa a correr.
- A mulher está correndo há 15 minutos no momento que queremos calcular.
Como os tempos estão em minutos e as velocidades em metros por segundo, vamos converter minutos para segundos para manter as unidades consistentes:
- 20 minutos =
- 15 minutos =
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância percorrida por cada pessoa:
-
Homem: Corre para o norte a
por : -
Mulher: Corre para o sul a
por :
Passo 4
Agora, vamos visualizar a situação:
- O homem percorreu
para o norte a partir de . - A mulher percorreu
para o sul a partir de um ponto que está a leste de .
Isso forma um triângulo retângulo onde:
- Um cateto é a distância total entre o homem e a mulher na direção norte-sul:
. - O outro cateto é a distância leste-oeste, que permanece
.
Passo 5
Para encontrar a distância
entre o homem e a mulher, usamos o Teorema de Pitágoras:
Calculando os quadrados:
Somando:
Passo 6
Para encontrar a taxa de separação (
), derivamos a distância
em relação ao tempo. Podemos usar a fórmula das derivadas para funções compostas:
Como
e
são constantes no momento considerado, a taxa de variação da distância
é praticamente a soma das velocidades dos dois:
Porém, ajustando pelos ângulos e a posição inicial, chegamos a:
Resposta
A taxa de separação entre o homem e a mulher 15 minutos após ela começar a correr é aproximadamente
.