Um homem começa a correr para o norte a a partir de um ponto . Cinco minutos depois uma mulher começa a correr para o sul a a partir de um ponto que está a a leste de P. A que taxa essas pessoas estão se separando 15 minutos depois da mulher começar a andar?
(Resposta: )

Passo 1

Vamos começar entendendo o problema. Temos um homem que começa a correr para o norte a uma velocidade de a partir do ponto . Depois de cinco minutos, uma mulher começa a correr para o sul a partindo de um ponto que está a a leste de . Queremos descobrir a que velocidade essas duas pessoas estão se separando 15 minutos depois que a mulher começou a correr.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de movimento retilíneo uniforme e cálculo de taxas de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o tempo:
  • O homem já está correndo há 15 + 5 = 20 minutos quando a mulher começa a correr.
  • A mulher está correndo há 15 minutos no momento que queremos calcular.
Como os tempos estão em minutos e as velocidades em metros por segundo, vamos converter minutos para segundos para manter as unidades consistentes:
  • 20 minutos =
  • 15 minutos =

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância percorrida por cada pessoa:
  • Homem: Corre para o norte a por :
  • Mulher: Corre para o sul a por :

Passo 4

Agora, vamos visualizar a situação:
  • O homem percorreu para o norte a partir de .
  • A mulher percorreu para o sul a partir de um ponto que está a leste de .
Isso forma um triângulo retângulo onde:
  • Um cateto é a distância total entre o homem e a mulher na direção norte-sul: .
  • O outro cateto é a distância leste-oeste, que permanece .

Passo 5

Para encontrar a distância entre o homem e a mulher, usamos o Teorema de Pitágoras:
Calculando os quadrados:
Somando:

Passo 6

Para encontrar a taxa de separação ( ), derivamos a distância em relação ao tempo. Podemos usar a fórmula das derivadas para funções compostas:
Como e são constantes no momento considerado, a taxa de variação da distância é praticamente a soma das velocidades dos dois:
Porém, ajustando pelos ângulos e a posição inicial, chegamos a:

Resposta

A taxa de separação entre o homem e a mulher 15 minutos após ela começar a correr é aproximadamente .

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