Beleza, vamos dar uma olhada na questão: precisamos descobrir o subespaço gerado por três matrizes específicas. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais precisamente no estudo de espaços vetoriais e subespaços. Para resolver isso, vamos precisar entender como combinar essas matrizes usando combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um subespaço gerado por um conjunto de vetores (ou matrizes, no nosso caso). Basicamente, é o conjunto de todas as combinações lineares possíveis dessas matrizes. Ou seja, qualquer matriz que possa ser formada multiplicando cada matriz inicial por um escalar e somando os resultados está no subespaço gerado.
Passo 3
Vamos chamar as matrizes dadas de , e :
Queremos encontrar todas as matrizes que podem ser escritas como:
onde , e são escalares (números reais).
Passo 4
Vamos escrever a combinação linear:
Isso resulta em:
Passo 5
Agora, vamos ver quais matrizes podemos obter variando , e . Para isso, observamos os elementos da matriz resultante:
Cada elemento de depende linearmente dos escalares , e .
Passo 6
Para determinar o subespaço gerado por , e , precisamos verificar se essas matrizes são linearmente independentes. Isso significa que nenhuma delas pode ser escrita como combinação linear das outras.
Vamos montar uma matriz com os coeficientes das combinações lineares e verificar o determinante ou a dimensão do espaço gerado.
Passo 7
Organizando os coeficientes:
Podemos representar isso como um sistema linear para determinar a independência das matrizes.
Passo 8
Analisando o sistema, vemos que há três variáveis (, , ) e quatro elementos na matriz . No entanto, a relação entre eles sugere que o subespaço gerado tem dimensão 3, já que temos três matrizes que não são combinações lineares umas das outras.
Passo 9
Portanto, o subespaço gerado pelas matrizes , e é o conjunto de todas as matrizes que podem ser escritas como combinações lineares dessas três matrizes, formando um espaço vetorial de dimensão 3.
Resposta
O subespaço gerado pelas matrizes dadas é o conjunto de todas as matrizes que podem ser formadas por combinações lineares de , e , formando um espaço vetorial de dimensão 3.