Mostre que não existem matrizes
e
de ordem
tais que
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que não existem matrizes
e
de ordem
tal que a diferença
seja igual à matriz identidade
. Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de matrizes e traço.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o traço de uma matriz. O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos da diagonal principal. Por exemplo, para a matriz
, o traço é
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso ao produto de duas matrizes
e
. Sabemos que o traço de
é igual ao traço de
. Em outras palavras:
Isso acontece porque, na multiplicação de matrizes, o traço não muda se mudarmos a ordem dos fatores.
Passo 4
Com isso em mente, vamos calcular o traço da matriz
:
Porque
, a diferença é sempre zero.
Passo 5
Agora, vamos olhar para o que a questão quer que
seja:
O traço dessa matriz é:
Passo 6
Mas vimos que
, e a matriz que a questão quer é uma matriz com traço 2. Isso cria um contradição, porque 0 não é igual a 2.
Resposta
Portanto, não existem matrizes
e
de ordem
que satisfazem
.
Exercícios relacionados
Seja
é uma matriz de ordem
. Mostre que
e
são matrizes simétricas.
Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto
é um subespaço do espaço vetorial
.
(g) e
(g)
Qual o subespaço gerado pelas matrizes
e
?
Encontre a inversa de cada matriz dada se possível: