Mostre que não existem matrizes A e B de ordem 2 x 2 tais que A B-B A=[ll1 & 0 0 & 1].

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa mostrar que não existem matrizes 1 & 0 0 & 1 e de ordem tal que a diferença seja igual à matriz identidade . Para isso, vamos usar alguns conceitos básicos de matrizes e traço.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o traço de uma matriz. O traço de uma matriz quadrada é a soma dos elementos da diagonal principal. Por exemplo, para a matriz a & b c & d, o traço é .

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso ao produto de duas matrizes tr(AB) = tr(BA) e . Sabemos que o traço de é igual ao traço de . Em outras palavras:
Isso acontece porque, na multiplicação de matrizes, o traço não muda se mudarmos a ordem dos fatores.

Passo 4

Com isso em mente, vamos calcular o traço da matriz tr(AB - BA) = tr(AB) - tr(BA) = 0 :
Porque , a diferença é sempre zero.

Passo 5

Agora, vamos olhar para o que a questão quer que AB - BA = 1 & 0 0 & 1 seja:
tr(1 & 0 0 & 1) = 1 + 1 = 2
O traço dessa matriz é:

Passo 6

Mas vimos que , e a matriz que a questão quer é uma matriz com traço 2. Isso cria um contradição, porque 0 não é igual a 2.

Resposta

Portanto, não existem matrizes 1 & 0 0 & 1 e de ordem que satisfazem .

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