Encontre a inversa de cada matriz dada se possível: A=[lll1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 1 & 0 & 2]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a inversa da matriz lll1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 1 & 0 & 2. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes e suas inversas. Para resolver, vamos precisar calcular o determinante da matriz e, se ele for diferente de zero, seguir para encontrar a matriz inversa usando métodos de matrizes aumentadas.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se a matriz tem inversa. Isso só é possível se o determinante de for diferente de zero. Então, vamos calcular o determinante de .

Passo 3

Para calcular o determinante de uma matriz llla & b & c d & e & f g & h & i, usamos a regra de Sarrus ou a regra geral de expansão. Vou usar a regra geral aqui. Para a matriz det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg) , o determinante é dado por:
det(A) = 1(1 times 2 - 1 times 0) - 1(0 times 2 - 1 times 1) + 0(0 times 0 - 1 times 1)
Aplicando isso na nossa matriz:

Passo 4

Vamos calcular cada parte:
1(2 - 0) = 1 times 2 = 2
-1(0 - 1) = -1 times (-1) = 1
0(0 - 1) = 0 times (-1) = 0
Somando tudo:
det(A) = 2 + 1 + 0 = 3

Passo 5

Como o determinante de é 3, que é diferente de zero, a matriz tem inversa. Agora, vamos encontrar usando o método da matriz aumentada.

Passo 6

Vamos montar a matriz aumentada [ccc|ccc 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 1 & 0 & 2 & 0 & 0 & 1 ] , onde é a matriz identidade :

Passo 7

Nosso objetivo é transformar a parte esquerda (matriz ) na identidade usando operações de linha, e a parte direita se transformará na inversa .
Primeiro, vamos garantir que o elemento seja 1, o que já está correto. Agora, queremos zerar os elementos abaixo desse 1 na primeira coluna.

Passo 8

Subtraia a primeira linha da terceira linha para zerar o elemento [ccc|ccc 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 1 ] :
Linha 3 = Linha 3 - Linha 1

Passo 9

Agora, vamos trabalhar na segunda coluna. Queremos que o elemento [ccc|ccc 1 & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & -1 & 2 & -1 & 0 & 1 ] seja 1, o que já está correto. Vamos zerar os elementos acima e abaixo desse 1.
Primeiro, vamos zerar o elemento acima, :
Linha 1 = Linha 1 - Linha 2

Passo 10

Agora, vamos zerar o elemento [ccc|ccc 1 & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3 & -1 & 1 & 1 ] :
Linha 3 = Linha 3 + Linha 2

Passo 11

Agora, vamos trabalhar na terceira coluna. Queremos que o elemento [ccc|ccc 1 & 0 & -1 & 1 & -1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & -13 & 13 & 13 ] seja 1. Para isso, dividimos a terceira linha por 3:
Linha 3 = (1/3) * Linha 3

Passo 12

Agora, vamos zerar os elementos acima do [ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 23 & -23 & 13 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & -13 & 13 & 13 ] . Primeiro, o elemento [ccc|ccc 1 & 0 & 0 & 23 & -23 & 13 0 & 1 & 0 & 13 & 23 & -13 0 & 0 & 1 & -13 & 13 & 13 ] :
Linha 1 = Linha 1 + Linha 3
Agora, o elemento :
Linha 2 = Linha 2 - Linha 3

Passo 13

Agora, a parte esquerda da matriz aumentada é a identidade. Portanto, a parte direita é a matriz inversa A^-1 = [ccc 23 & -23 & 13 13 & 23 & -13 -13 & 13 & 13 ] :

Resposta

A inversa da matriz A^-1 = [ccc 23 & -23 & 13 13 & 23 & -13 -13 & 13 & 13 ] é:

Exercícios relacionados

Nas seguintes matrizes, determine se a matriz dada é invertível. Caso seja, calcule a inversa.
i. (rrr3 & 2 & 1 0 & 2 & 2 0 & 0 & -1)
Seja A uma matriz inversível. Mostre que: (A^t)^-1=(A^-1)^t.
Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto S é um subespaço do espaço vetorial V.
(a) V=R^2 e S=(x, y) in R^2 : x=1
Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto S é um subespaço do espaço vetorial V.
(e) V=P1 e S=p(x) in P1: integral0^1 p(x) d x=0