Seja A uma matriz inversível. Mostre que:
.
Passo 1
Então, a gente tem uma matriz
que é inversível, ou seja, existe uma matriz
que, quando multiplicada por
, dá a matriz identidade. A questão quer a gente mostrar que a inversa da transposta de
, que é
, é igual à transposta da inversa de
, que é
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa matriz transposta e matriz inversa, e como elas se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transposta de uma matriz
, denotada por
, é obtida trocando as linhas pelas colunas. Já a inversa de
,
, é a matriz que satisfaz
, onde
é a matriz identidade.
Passo 3
Agora, vamos considerar a transposta da matriz
, isto é,
. Queremos encontrar a inversa dessa transposta, que é
.
Passo 4
Sabemos que a transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas na ordem inversa, ou seja,
. Aplicando isso à definição da inversa, temos:
Passo 5
Como
, então:
Passo 6
Usando a propriedade do passo 4, a equação fica:
Passo 7
Isso mostra que
é a matriz que, quando multiplicada por
, resulta na identidade. Portanto,
é a inversa de
.
Resposta
Portanto, mostramos que
.