Seja A uma matriz inversível. Mostre que: (A^t)^-1=(A^-1)^t.

Passo 1

Então, a gente tem uma matriz que é inversível, ou seja, existe uma matriz que, quando multiplicada por , dá a matriz identidade. A questão quer a gente mostrar que a inversa da transposta de , que é , é igual à transposta da inversa de , que é . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa matriz transposta e matriz inversa, e como elas se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transposta de uma matriz , denotada por , é obtida trocando as linhas pelas colunas. Já a inversa de , , é a matriz que satisfaz , onde é a matriz identidade.

Passo 3

Agora, vamos considerar a transposta da matriz , isto é, . Queremos encontrar a inversa dessa transposta, que é .

Passo 4

Sabemos que a transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas na ordem inversa, ou seja, (A cdot A^-1)^t = I^t . Aplicando isso à definição da inversa, temos:

Passo 5

Como (A cdot A^-1)^t = I^t = I , então:

Passo 6

Usando a propriedade do passo 4, a equação fica:
(A^-1)^t cdot A^t = I

Passo 7

Isso mostra que é a matriz que, quando multiplicada por , resulta na identidade. Portanto, é a inversa de .

Resposta

Portanto, mostramos que .

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