Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto S é um subespaço do espaço vetorial V.
(e) V=P1 e S=p(x) in P1: integral0^1 p(x) d x=0

Passo 1

O enunciado nos pede para verificar se o conjunto é um subespaço do espaço vetorial . Aqui, estamos trabalhando com espaço vetorial de polinômios de grau no máximo 1. Para resolver isso, precisamos lembrar das condições que definem um subespaço vetorial e verificar se as satisfaz.

Passo 2

Primeiramente, lembramos que um subespaço vetorial deve cumprir três condições:
  1. Contém o vetor zero: O polinômio zero deve estar em .
  2. Fechado sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também deve estar em .

Passo 3

Verificando a condição 1: O polinômio zero é integral0^1 0 , dx = 0 . Calculando a integral:
Portanto, o polinômio zero está em .

Passo 4

Verificando a condição 2: Suponha que integral0^1 p(x) , dx = 0 e integral0^1 q(x) , dx = 0 e integral0^1 [p(x) + q(x)] , dx = integral0^1 p(x) , dx + integral0^1 q(x) , dx = 0 + 0 = 0 estão em , ou seja:
Queremos verificar se também está em :
Portanto, está em .

Passo 5

Verificando a condição 3: Seja integral0^1 [c cdot p(x)] , dx = c cdot integral0^1 p(x) , dx = c cdot 0 = 0 um polinômio em e um escalar. Calculamos:
Logo, também está em .

Resposta

Como satisfaz todas as três condições necessárias, concluímos que é um subespaço do espaço vetorial .

Exercícios relacionados

Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto S é um subespaço do espaço vetorial V.
(a) V=R^2 e S=(x, y) in R^2 : x=1
Encontre a inversa de cada matriz dada se possível: A=[lll1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 1 & 0 & 2]
Resolva os seguintes sistemas, usando a matriz inversa. ( x=A^-1 b, verifique se a matriz inversa existe.)
x1-2 x2+3 x3 & =11 4 x1+x2-x3 & =4 2 x1-x2+3 x3 & =10
Verifique se a matriz é invertível e, em caso afirmativo, calcule sua inversa.
A=(ll 1 & -1 1 & -1 ) B=(ll 2 & 0 1 & 1 ) C=(ccc 1 & 4 & 3 -1 & -2 & 0 2 & 2 & 3 )