Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto é um subespaço do espaço vetorial .
(e) e
Passo 1
O enunciado nos pede para verificar se o conjunto é um subespaço do espaço vetorial . Aqui, estamos trabalhando com espaço vetorial de polinômios de grau no máximo 1. Para resolver isso, precisamos lembrar das condições que definem um subespaço vetorial e verificar se as satisfaz.
Passo 2
Primeiramente, lembramos que um subespaço vetorial deve cumprir três condições:
Contém o vetor zero: O polinômio zero deve estar em .
Fechado sob adição: Se e estão em , então também deve estar em .
Fechado sob multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também deve estar em .
Passo 3
Verificando a condição 1: O polinômio zero é . Calculando a integral:
Portanto, o polinômio zero está em .
Passo 4
Verificando a condição 2: Suponha que e estão em , ou seja:
Queremos verificar se também está em :
Portanto, está em .
Passo 5
Verificando a condição 3: Seja um polinômio em e um escalar. Calculamos:
Logo, também está em .
Resposta
Como satisfaz todas as três condições necessárias, concluímos que é um subespaço do espaço vetorial .