Nas seguintes matrizes, determine se a matriz dada é invertível. Caso seja, calcule a inversa.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente verificar se a matriz fornecida é invertível e, se for, calcular a sua inversa. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma matriz ser invertível e como calcular a inversa de uma matriz. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é uma matriz invertível. Uma matriz é invertível se existe outra matriz que, quando multiplicada pela original, resulta na matriz identidade (que é como o “1” das matrizes). Para saber se uma matriz é invertível, olhamos para o seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, a matriz é invertível. Se for zero, ela não tem inversa.
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante da matriz que você enviou:
Essa matriz é triangular superior, o que facilita o cálculo do determinante. Para matrizes triangulares (onde todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero), o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Então:
Como o determinante é -6, que é diferente de zero, a matriz é invertível.
Passo 4
Agora que sabemos que a matriz é invertível, vamos calcular a sua inversa. Para matrizes triangulares, a inversa também é triangular, e podemos calcular os elementos invertendo os elementos da diagonal e resolvendo as outras posições. Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, invertemos os elementos da diagonal:
Depois, ajustamos os elementos acima da diagonal usando essas inversas. Após os cálculos, a matriz inversa fica assim:
Resposta
A matriz fornecida é invertível, e a sua inversa é: