Sejam U e V dois vetores não nulos no espaço tais que U times V=(-2,0, raiz5). Se T=2 U+3 V e W=-3 U, calcule a área do paralelogramo determinado pelos vetores T e W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores não nulos, e , no espaço tridimensional, e sabemos que o produto vetorial deles é . Além disso, são definidos dois novos vetores: e . O que precisamos encontrar é a área do paralelogramo formado pelos vetores e .
Para resolver isso, vamos usar o conceito de produto vetorial, que nos dá uma forma de calcular a área de um paralelogramo formado por dois vetores. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a área de um paralelogramo formado por dois vetores Área = | A times B | e é igual ao módulo do produto vetorial desses vetores:
Á
Então, para encontrar a área do paralelogramo formado por e , precisamos calcular e depois encontrar o módulo desse vetor resultante.

Passo 3

Vamos substituir os valores de T = 2U + 3V W = -3U e T times W = (2U + 3V) times (-3U) :
Agora, vamos calcular o produto vetorial :

Passo 4

Vamos distribuir o produto vetorial:
(2U + 3V) times (-3U) = 2U times (-3U) + 3V times (-3U)
Simplificando os coeficientes:
= -6(U times U) -9(V times U)

Passo 5

Sabemos que o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é zero:
U times U = 0
E também, o produto vetorial é anticomutativo, ou seja:
V times U = - (U times V)
Substituindo esses valores:
-6(0) -9(-U times V) = 0 + 9(U times V) = 9(U times V)

Passo 6

Agora, sabemos que 9(U times V) = 9(-2, 0, raiz5) = (-18, 0, 9raiz5) , então substituindo:

Passo 7

Para encontrar a área, precisamos do módulo desse vetor resultante:
| T times W | = raiz(-18)^2 + 0^2 + (9raiz5)^2
Calculando cada termo:
(-18)^2 = 324 0^2 = 0 (9raiz5)^2 = 81 times 5 = 405

Passo 8

Somando os termos:
324 + 0 + 405 = 729
Agora, tiramos a raiz quadrada:
raiz729 = 27

Resposta

A área do paralelogramo determinado pelos vetores e é 27 unidades de área.

Exercícios relacionados