Sejam e dois vetores não nulos no espaço tais que . Se e , calcule a área do paralelogramo determinado pelos vetores e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores não nulos, e , no espaço tridimensional, e sabemos que o produto vetorial deles é . Além disso, são definidos dois novos vetores: e . O que precisamos encontrar é a área do paralelogramo formado pelos vetores e .
Para resolver isso, vamos usar o conceito de produto vetorial, que nos dá uma forma de calcular a área de um paralelogramo formado por dois vetores. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a área de um paralelogramo formado por dois vetores e é igual ao módulo do produto vetorial desses vetores:
Então, para encontrar a área do paralelogramo formado por e , precisamos calcular e depois encontrar o módulo desse vetor resultante.
Passo 3
Vamos substituir os valores de e :
Agora, vamos calcular o produto vetorial :
Passo 4
Vamos distribuir o produto vetorial:
Simplificando os coeficientes:
Passo 5
Sabemos que o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é zero:
E também, o produto vetorial é anticomutativo, ou seja:
Substituindo esses valores:
Passo 6
Agora, sabemos que , então substituindo:
Passo 7
Para encontrar a área, precisamos do módulo desse vetor resultante:
Calculando cada termo:
Passo 8
Somando os termos:
Agora, tiramos a raiz quadrada:
Resposta
A área do paralelogramo determinado pelos vetores e é 27 unidades de área.