Qual é o operador linear sobre o que possui e como autovalores associados, respectivamente, aos autovetores e ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar um operador linear (ou seja, uma matriz) no espaço que tenha os autovalores e associados, respectivamente, aos autovetores e . Para resolver isso, vamos precisar entender de matrizes, autovalores e autovetores. Basicamente, queremos montar uma matriz que, quando multiplicada pelos autovetores dados, resulte nos autovalores multiplicando esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se é um autovetor de uma matriz com autovalor , então . No nosso caso, temos duas equações:

Passo 3

Vamos chamar a matriz de:
Agora, vamos multiplicar pelos autovetores e igualar aos resultados com os autovalores.

Passo 4

Primeira equação:
Isso resulta em duas equações:

Passo 5

Segunda equação:
Isso também dá duas equações:

Passo 6

Agora, temos um sistema de quatro equações:
Vamos resolver para , , e .

Passo 7

Subtraindo a equação (3) da equação (1):

Passo 8

Agora que temos , substituímos na equação (1):

Passo 9

Passando para e , vamos resolver as equações (2) e (4):
Primeiro, da equação (2):
E da equação (4):
Subtraindo a equação (4) da equação (2):

Passo 10

Com , substituímos na equação (2):

Resposta

Então, a matriz que representa o operador linear solicitado é:

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