Qual é o operador linear sobre o R^2 que possui lambda=-2 e lambda=3 como autovalores associados, respectivamente, aos autovetores (3,1) e (-2,1) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar um operador linear (ou seja, uma matriz) no espaço R^2 que tenha os autovalores lambda = -2 e lambda = 3 associados, respectivamente, aos autovetores (3,1) e (-2,1). Para resolver isso, vamos precisar entender de matrizes, autovalores e autovetores. Basicamente, queremos montar uma matriz que, quando multiplicada pelos autovetores dados, resulte nos autovalores multiplicando esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se v é um autovetor de uma matriz A com autovalor lambda, então A v = lambda v. No nosso caso, temos duas equações:
A 3 1 = -2 3 1
A -2 1 = 3 -2 1

Passo 3

Vamos chamar a matriz A de:
A = a & b c & d
Agora, vamos multiplicar A pelos autovetores e igualar aos resultados com os autovalores.

Passo 4

Primeira equação:
a & b c & d 3 1 = -6 -2
Isso resulta em duas equações:
3a + b = -6 (1)
3c + d = -2 (2)

Passo 5

Segunda equação:
a & b c & d -2 1 = -6 3
Isso também dá duas equações:
-2a + b = -6 (3)
-2c + d = 3 (4)

Passo 6

Agora, temos um sistema de quatro equações:
3a + b = -6 (1) 3c + d = -2 (2) -2a + b = -6 (3) -2c + d = 3 (4)
Vamos resolver para a, b, c e d.

Passo 7

Subtraindo a equação (3) da equação (1):
3a + b - (-2a + b) = -6 - (-6)
5a = 0 Rightarrow a = 0

Passo 8

Agora que temos a = 0, substituímos na equação (1):
3(0) + b = -6 Rightarrow b = -6

Passo 9

Passando para c e d, vamos resolver as equações (2) e (4):
Primeiro, da equação (2):
3c + d = -2 (2)
E da equação (4):
-2c + d = 3 (4)
Subtraindo a equação (4) da equação (2):
3c + d - (-2c + d) = -2 - 3
5c = -5 Rightarrow c = -1

Passo 10

Com c = -1, substituímos na equação (2):
3(-1) + d = -2 Rightarrow -3 + d = -2 Rightarrow d = 1

Resposta

Então, a matriz que representa o operador linear solicitado é:
A = 0 & -6 -1 & 1

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