Qual é o operador linear sobre o que possui e como autovalores associados, respectivamente, aos autovetores e ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar um operador linear (ou seja, uma matriz) no espaço que tenha os autovalores e associados, respectivamente, aos autovetores e . Para resolver isso, vamos precisar entender de matrizes, autovalores e autovetores. Basicamente, queremos montar uma matriz que, quando multiplicada pelos autovetores dados, resulte nos autovalores multiplicando esses vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se é um autovetor de uma matriz com autovalor , então . No nosso caso, temos duas equações:
Passo 3
Vamos chamar a matriz de:
Agora, vamos multiplicar pelos autovetores e igualar aos resultados com os autovalores.
Passo 4
Primeira equação:
Isso resulta em duas equações:
Passo 5
Segunda equação:
Isso também dá duas equações:
Passo 6
Agora, temos um sistema de quatro equações:
Vamos resolver para a, b, c e d.
Passo 7
Subtraindo a equação (3) da equação (1):
3a + b - (-2a + b) = -6 - (-6)
5a = 0 Rightarrow a = 0
Passo 8
Agora que temos a = 0, substituímos na equação (1):
3(0) + b = -6 Rightarrow b = -6
Passo 9
Passando para c e d, vamos resolver as equações (2) e (4):
Primeiro, da equação (2):
3c + d = -2 (2)
E da equação (4):
-2c + d = 3 (4)
Subtraindo a equação (4) da equação (2):
3c + d - (-2c + d) = -2 - 3
5c = -5 Rightarrow c = -1
Passo 10
Com c = -1, substituímos na equação (2):
3(-1) + d = -2 Rightarrow -3 + d = -2 Rightarrow d = 1
Resposta
Então, a matriz que representa o operador linear solicitado é: