Encontre a inversa de cada uma das seguintes matrizes , onde são todos não-nulos.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a inversa de uma matriz 4 times 4 específica, onde os elementos k1, k2, k3, k4 são todos diferentes de zero. Vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes inversas e matrizes diagonais. Para isso, vamos precisar entender como calcular a inversa de uma matriz e aplicar essas técnicas na matriz dada.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a matriz que precisamos inverter:
Observamos que essa matriz tem uma estrutura especial: ela é uma matriz esparsa, com muitos zeros e apenas alguns elementos não nulos. Isso sugere que podemos simplificar o processo de encontrar a inversa utilizando propriedades de matrizes permutadas e diagonais.
Passo 3
Vamos notar que a matriz A pode ser vista como uma combinação de uma matriz de permutação e uma matriz diagonal. Uma matriz de permutação rearranja as linhas ou colunas de outra matriz, e uma matriz diagonal tem elementos não nulos apenas na diagonal principal.
No nosso caso, a matriz A está rearranjando os elementos diagonais através das constantes k1, k2, k3, k4. Para encontrar a inversa, precisamos inverter essa operação, ou seja, desfazer a permutação e os escalonamentos.
Passo 4
Vamos considerar uma matriz diagonal D e uma matriz de permutação P tais que:
E P é uma matriz que rearranja as colunas de D para obter a matriz A. Nesse caso, P seria uma matriz que troca a primeira coluna com a quarta, a segunda com a terceira, etc.
Passo 5
Sabemos que a inversa de um produto de matrizes é o produto das inversas na ordem inversa. Portanto:
A^-1 = D^-1 cdot P^-1
Onde D^-1 é a inversa da matriz diagonal D, que é simplesmente a matriz diagonal com os elementos inversos:
E P^-1 é a inversa da matriz de permutação P, que é a sua transposta.
Passo 6
Calculando a matriz de permutação inversa P^-1, que neste caso é a mesma que P devido à natureza das permutações (aplicar a permutação duas vezes retorna à matriz original):