Encontre a inversa de cada uma das seguintes matrizes 4 times 4, onde k1, k2, k3, k4 e k5 são todos não-nulos.
(b) [cccc0 & 0 & 0 & k1 0 & 0 & k2 & 0 0 & k3 & 0 & 0 k4 & 0 & 0 & 0]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a inversa de uma matriz 4 times 4 específica, onde os elementos k1, k2, k3, k4 são todos diferentes de zero. Vamos usar conhecimentos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes inversas e matrizes diagonais. Para isso, vamos precisar entender como calcular a inversa de uma matriz e aplicar essas técnicas na matriz dada.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a matriz que precisamos inverter:
A = 0 & 0 & 0 & k1 0 & 0 & k2 & 0 0 & k3 & 0 & 0 k4 & 0 & 0 & 0
Observamos que essa matriz tem uma estrutura especial: ela é uma matriz esparsa, com muitos zeros e apenas alguns elementos não nulos. Isso sugere que podemos simplificar o processo de encontrar a inversa utilizando propriedades de matrizes permutadas e diagonais.

Passo 3

Vamos notar que a matriz A pode ser vista como uma combinação de uma matriz de permutação e uma matriz diagonal. Uma matriz de permutação rearranja as linhas ou colunas de outra matriz, e uma matriz diagonal tem elementos não nulos apenas na diagonal principal.
No nosso caso, a matriz A está rearranjando os elementos diagonais através das constantes k1, k2, k3, k4. Para encontrar a inversa, precisamos inverter essa operação, ou seja, desfazer a permutação e os escalonamentos.

Passo 4

Vamos considerar uma matriz diagonal D e uma matriz de permutação P tais que:
A = P cdot D
Onde:
D = k1 & 0 & 0 & 0 0 & k2 & 0 & 0 0 & 0 & k3 & 0 0 & 0 & 0 & k4
E P é uma matriz que rearranja as colunas de D para obter a matriz A. Nesse caso, P seria uma matriz que troca a primeira coluna com a quarta, a segunda com a terceira, etc.

Passo 5

Sabemos que a inversa de um produto de matrizes é o produto das inversas na ordem inversa. Portanto:
A^-1 = D^-1 cdot P^-1
Onde D^-1 é a inversa da matriz diagonal D, que é simplesmente a matriz diagonal com os elementos inversos:
D^-1 = 1k1 & 0 & 0 & 0 0 & 1k2 & 0 & 0 0 & 0 & 1k3 & 0 0 & 0 & 0 & 1k4
E P^-1 é a inversa da matriz de permutação P, que é a sua transposta.

Passo 6

Calculando a matriz de permutação inversa P^-1, que neste caso é a mesma que P devido à natureza das permutações (aplicar a permutação duas vezes retorna à matriz original):
P^-1 = P = 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0

Passo 7

Agora, multiplicamos D^-1 por P^-1 para obter a inversa da matriz A:
A^-1 = D^-1 cdot P^-1 = 1k1 & 0 & 0 & 0 0 & 1k2 & 0 & 0 0 & 0 & 1k3 & 0 0 & 0 & 0 & 1k4 cdot 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 0
Multiplicando essas duas matrizes, obtemos:
A^-1 = 0 & 0 & 0 & 1k1 0 & 0 & 1k2 & 0 0 & 1k3 & 0 & 0 1k4 & 0 & 0 & 0

Resposta

A inversa da matriz dada é:
A^-1 = 0 & 0 & 0 & dfrac1k1 0 & 0 & dfrac1k2 & 0 0 & dfrac1k3 & 0 & 0 dfrac1k4 & 0 & 0 & 0

Exercícios relacionados

Encontre a inversa da matriz dada, conferindo a resposta por multiplicação com a inversa:
(b) [rrr-1 & 3 & -4 2 & 4 & 1 -4 & 2 & -9]
encontrar as inversas das seguintes matrizes.
(b) [llll1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1]
Resolva os seguintes sistemas de equações lineares utilizando o método de inversa de matrizes:
©
x1+3 x2+x3 & =4 2 x1+2 x2+x3 & =-1 2 x1+3 x2+x3 & =3
Resolva em x, y e z.
x y-2 raizy+3 z y & =8 2 x y-3 raizy+2 z y & =7 -x y+raizy+2 z y & =4