Encontre a inversa da Matriz [ccccraiz2 & 0 & 2 raiz2 & 0 -4 raiz2 & raiz2 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3 & 1].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a inversa da matriz ccccraiz2 & 0 & 2 raiz2 & 0 -4 raiz2 & raiz2 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3 & 1. Para isso, vamos usar o conceito de matriz inversa, que é uma matriz que, quando multiplicada pela original, dá a matriz identidade. Vamos precisar dividir a matriz em blocos menores para facilitar a inversão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a matriz A = B & C 0 & D pode ser dividida em blocos. Observando a estrutura, vemos que ela tem uma forma bloco triangular superior, ou seja, os blocos abaixo da diagonal principal são zeros. Vamos dividir raiz2 & 0 -4raiz2 & raiz2 assim:
2raiz2 & 0 0 & 0
Onde:
  • 1 & 0 3 & 1

Passo 3

Agora, vamos encontrar a inversa de B^-1 = 1det(B) d & -b -c & a , ou seja, det(B) = (raiz2)(raiz2) - (0)(-4raiz2) = 2 . Para uma matriz B^-1 = 12 raiz2 & 0 4raiz2 & raiz2 = raiz22 & 0 2raiz2 & raiz22 , a inversa é dada por:
Onde são os elementos de . Calculando o determinante de :
Então,

Passo 4

Vamos encontrar também a inversa de det(D) = (1)(1) - (0)(3) = 1 , ou seja, D^-1 = 1 & 0 -3 & 1 . Usando a mesma fórmula para matrizes :
Então,

Passo 5

Com - B^-1 C D^-1 e B^-1 C = raiz22 & 0 2raiz2 & raiz22 2raiz2 & 0 0 & 0 = raiz22 cdot 2raiz2 + 0 cdot 0 & 0 2raiz2 cdot 2raiz2 + raiz22 cdot 0 & 0 = 2 & 0 8 & 0 prontos, vamos calcular a parte superior direita da matriz inversa B^-1 C D^-1 = 2 & 0 8 & 0 1 & 0 -3 & 1 = 2 cdot 1 + 0 cdot (-3) & 2 cdot 0 + 0 cdot 1 8 cdot 1 + 0 cdot (-3) & 8 cdot 0 + 0 cdot 1 = 2 & 0 8 & 0 , que é dada por:
- B^-1 C D^-1 = -2 & 0 -8 & 0
Primeiro, multiplicamos por :
Agora, multiplicamos pelo :
Então,

Passo 6

Finalmente, juntamos tudo para montar a inversa A^-1 = B^-1 & -B^-1 C D^-1 0 & D^-1 = raiz22 & 0 & -2 & 0 2raiz2 & raiz22 & -8 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & -3 & 1 :

Resposta

A inversa da matriz dada é:
A^-1 = raiz22 & 0 & -2 & 0 2raiz2 & raiz22 & -8 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & -3 & 1

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© A+2 A+3 A+4 A+5 A+6 A;
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