Seja o sistema
Se o valor de b influi ao sistema ter, ou não, solução única. Justifique sua resposta.
Dica: Utilize o Teorema de Cramer
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações com três variáveis usando o Teorema de Cramer. O enunciado nos pergunta se o valor de influencia se o sistema tem ou não uma solução única. Para isso, vamos precisar entender determinantes de matrizes e como o Teorema de Cramer funciona para sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar o sistema de equações:
x - 2y = 1 x - y + a z = 2 a y + 9 z = b
Aqui, temos três equações com três incógnitas: , e .
Passo 3
O Teorema de Cramer nos diz que para resolver um sistema linear xi = det(Ai)det(A) , onde é a matriz dos coeficientes, é o vetor das incógnitas e é o vetor dos termos constantes, as soluções são dadas por:
onde é a matriz com a -ésima coluna substituída por .
Passo 4
Vamos montar a matriz dos coeficientes A = 1 & -2 & 0 1 & -1 & a 0 & a & 9 e calcular seu determinante det(A) = 1 cdot -1 & a a & 9 - (-2) cdot 1 & a 0 & 9 + 0 cdot 1 & -1 0 & a :
det(A) = 1((-1)(9) - a cdot a) + 2(1 cdot 9 - a cdot 0) + 0 = -9 - a^2 + 18 = 9 - a^2
Calculando o determinante:
Passo 5
Para o sistema ter solução única, o determinante 9 - a^2 neq 0 implies a^2 neq 9 implies a neq 3 e a neq -3 não pode ser zero:
Passo 6
Agora, vamos verificar como o valor de influencia a existência de solução única. Se , então, independentemente do valor de , o sistema terá uma solução única.
Porém, se (isto é, ou ), precisamos verificar se as equações são compatíveis ou não. Isso dependerá do valor de .
Passo 7
Resumindo:
Se e : , o sistema sempre terá uma solução única, independente de .
Se ou : , e a existência de solução única depende do valor de . Para esses valores de , o sistema pode ser indeterminado (infinitas soluções) ou inconsistente (sem solução), dependendo de .
Resposta
O valor de influencia se o sistema tem solução única somente quando ou . Para , o sistema sempre possui uma solução única independentemente de . Já para ou , o valor de determina se o sistema terá infinitas soluções ou nenhuma solução.