Encontre a inversa da matriz dada, conferindo a resposta por multiplicação com a inversa:
(a) [ll1 & 4 2 & 7]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a inversa de uma matriz 2x2 e conferir se está correta multiplicando pela matriz original. O conteúdo envolvido aqui é álgebra linear, especificamente o cálculo da matriz inversa. Para isso, vamos precisar lembrar da fórmula para encontrar a inversa de uma matriz 2x2 e como calcular o determinante dessa matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz que queremos inverter:
A = 1 & 4 2 & 7
Para encontrar a inversa de uma matriz 2x2, usamos a seguinte fórmula:
A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a
onde a matriz a & b c & d é:

Passo 3

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz det(A) = a cdot d - b cdot c . O determinante de uma matriz 2x2 é dado por:
det(A) = 1 cdot 7 - 4 cdot 2 = 7 - 8 = -1
Substituindo os valores da nossa matriz:

Passo 4

Agora que temos o determinante, podemos aplicar a fórmula da inversa. Lembrando que:
A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a
Substituindo os valores:
A^-1 = 1-1 7 & -4 -2 & 1 = -1 cdot 7 & -4 -2 & 1 = -7 & 4 2 & -1

Passo 5

Agora, vamos conferir se a inversa está correta multiplicando a matriz original I = 1 & 0 0 & 1 pela inversa A cdot A^-1 = 1 & 4 2 & 7 cdot -7 & 4 2 & -1 = (1)(-7) + (4)(2) & (1)(4) + (4)(-1) (2)(-7) + (7)(2) & (2)(4) + (7)(-1) . O resultado deve ser a matriz identidade -7 + 8 & 4 - 4 -14 + 14 & 8 - 7 = 1 & 0 0 & 1 = I :
Vamos fazer a multiplicação:
Calculando cada elemento:

Resposta

A inversa da matriz dada é:
A^-1 = -7 & 4 2 & -1

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