Além disso, devemos conferir se a inversa encontrada está correta multiplicando a matriz original pela sua inversa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes invertíveis e métodos para encontrar a inversa de matrizes triangulares.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a matriz é invertível. Uma matriz quadrada é invertível se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Observamos que a matriz dada é uma matriz triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal principal são zero). Para matrizes triangulares, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Calculando o determinante:
det(A) = 1 times 3 times 5 times 7 = 105
Como , a matriz é invertível.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a inversa da matriz. Para matrizes triangulares inferiores, a inversa também será uma matriz triangular inferior. Vamos denotar a inversa por e determiná-la passo a passo.
Com todos os elementos calculados, montamos a matriz inversa A^-1 = 1 & 0 & 0 & 0 -13 & 13 & 0 & 0 0 & -15 & 15 & 0 0 & 0 & -17 & 17 :
Passo 8
Por fim, vamos conferir se a matriz encontrada é realmente a inversa. Fazemos isso multiplicando a matriz original A times A^-1 = I pela sua inversa e verificando se o resultado é a matriz identidade :
Após realizar a multiplicação, confirmamos que o resultado é de fato a matriz identidade, o que valida nossa inversa encontrada.