Encontre a inversa da matriz dada, conferindo a resposta por multiplicação com a inversa:
© [llll1 & 0 & 0 & 0 1 & 3 & 0 & 0 1 & 3 & 5 & 0 1 & 3 & 5 & 7]

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo: precisamos encontrar a inversa da seguinte matriz:
1 & 0 & 0 & 0 1 & 3 & 0 & 0 1 & 3 & 5 & 0 1 & 3 & 5 & 7
Além disso, devemos conferir se a inversa encontrada está correta multiplicando a matriz original pela sua inversa. Para resolver isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre matrizes invertíveis e métodos para encontrar a inversa de matrizes triangulares.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a matriz é invertível. Uma matriz quadrada é invertível se e somente se o seu determinante for diferente de zero. Observamos que a matriz dada é uma matriz triangular inferior (todos os elementos acima da diagonal principal são zero). Para matrizes triangulares, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Calculando o determinante:
det(A) = 1 times 3 times 5 times 7 = 105
Como , a matriz é invertível.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a inversa da matriz. Para matrizes triangulares inferiores, a inversa também será uma matriz triangular inferior. Vamos denotar a inversa por e determiná-la passo a passo.

Passo 4

Vamos representar a inversa A^-1 = b11 & 0 & 0 & 0 b21 & b22 & 0 & 0 b31 & b32 & b33 & 0 b41 & b42 & b43 & b44 da seguinte forma:
Nosso objetivo é encontrar os valores de que satisfazem a condição , onde é a matriz identidade.

Passo 5

Começamos determinando os elementos da diagonal principal de bii = 1aii . Para isso, utilizamos a relação:
b11 = 11 = 1
Calculando cada um:
b22 = 13
b33 = 15
b44 = 17

Passo 6

Agora, vamos calcular os elementos abaixo da diagonal principal. Para isso, utilizamos a condição a21b11 + a22b21 = 0 1 times 1 + 3 times b21 = 0 1 + 3b21 = 0 b21 = -13 e resolvemos para cada a31b11 + a32b21 + a33b31 = 0 1 times 1 + 3 times (-13) + 5 times b31 = 0 1 -1 + 5b31 = 0 5b31 = 0 b31 = 0 .
Para a32b22 + a33b32 = 0 3 times 13 + 5 times b32 = 0 1 + 5b32 = 0 b32 = -15 :
a41b11 + a42b21 + a43b31 + a44b41 = 0 1 times 1 + 3 times (-13) + 5 times 0 + 7 times b41 = 0 1 -1 + 0 + 7b41 = 0 7b41 = 0 b41 = 0
Para a43b33 + a44b43 = 0 5 times 15 + 7 times b43 = 0 1 + 7b43 = 0 b43 = -17 :
a42b22 + a43b32 + a44b42 = 0 3 times 13 + 5 times (-15) + 7 times b42 = 0 1 -1 + 7b42 = 0 7b42 = 0 b42 = 0
Para :
Para :
Para :
Para :

Passo 7

Com todos os elementos calculados, montamos a matriz inversa A^-1 = 1 & 0 & 0 & 0 -13 & 13 & 0 & 0 0 & -15 & 15 & 0 0 & 0 & -17 & 17 :

Passo 8

Por fim, vamos conferir se a matriz encontrada é realmente a inversa. Fazemos isso multiplicando a matriz original A times A^-1 = I pela sua inversa e verificando se o resultado é a matriz identidade :
Após realizar a multiplicação, confirmamos que o resultado é de fato a matriz identidade, o que valida nossa inversa encontrada.

Resposta

A inversa da matriz dada é:
1 & 0 & 0 & 0 -13 & 13 & 0 & 0 0 & -15 & 15 & 0 0 & 0 & -17 & 17

Exercícios relacionados

Seja A a matriz
[lll 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 ]
Determine se A é invertível e, se for, encontre sua inversa.
Resolva os seguintes sistemas de equações lineares utilizando o método de inversa de matrizes:
(a)
x1+x2=2
5 x1+6 x2=9
Prove que se A e B são matrizes n times n, então
(b) tr(k A)=k tr(A)
Em cada parte use a informação dada para encontrar A.
(a) A^-t=[rr2 & -1 3 & 5]