Seja A a matriz
[lll 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 ]
Determine se A é invertível e, se for, encontre sua inversa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para saber se a matriz é invertível e, se for, encontrar a sua inversa. Estamos lidando com matrizes quadradas e o conceito de inversibilidade. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e, se ele for diferente de zero, usar algumas fórmulas para achar a inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser invertível. Uma matriz é invertível se existe outra matriz que, quando multiplicada pela original, dá a matriz identidade (que é tipo o número 1 para matrizes). Para saber se isso é possível, calculamos o determinante da matriz. Se o determinante for zero, a matriz não é invertível. Se for diferente de zero, ela é invertível.

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz A = [ccc 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 ] :
det(A) = 1 cdot 1 cdot 1 + 0 cdot 0 cdot 0 + 1 cdot 1 cdot 0 - 1 cdot 1 cdot 0 - 0 cdot 1 cdot 1 - 1 cdot 0 cdot 1
O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
det(A) = 1 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 1
Simplificando:
Como o determinante é 1 (diferente de zero), a matriz é invertível.

Passo 4

Agora que sabemos que A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A) é invertível, vamos encontrar a sua inversa . Para isso, usamos a fórmula da inversa de uma matriz 3x3:
Onde é a matriz adjunta de . A adjunta é a transposta da matriz dos cofatores de .

Passo 5

Vamos encontrar os cofatores de Cij = (-1)^i+j cdot Mij . Cada cofator C11 = (-1)^1+1 cdot |cc 1 & 0 1 & 1 | = 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) = 1 é dado por:
C12 = (-1)^1+2 cdot |cc 1 & 0 0 & 1 | = -1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 0) = -1
Onde C13 = (-1)^1+3 cdot |cc 1 & 1 0 & 1 | = 1 cdot (1 cdot 1 - 1 cdot 0) = 1 é o menor da matriz, ou seja, o determinante da submatriz que sobra quando removemos a C21 = (-1)^2+1 cdot |cc 0 & 1 1 & 1 | = -1 cdot (0 cdot 1 - 1 cdot 1) = 1 -ésima linha e a C22 = (-1)^2+2 cdot |cc 1 & 1 0 & 1 | = 1 cdot (1 cdot 1 - 1 cdot 0) = 1 -ésima coluna.
Vamos calcular cada cofator:
  • Cofator C23 = (-1)^2+3 cdot |cc 1 & 0 0 & 1 | = -1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 0) = -1 :
    C31 = (-1)^3+1 cdot |cc 0 & 1 1 & 0 | = 1 cdot (0 cdot 0 - 1 cdot 1) = -1
  • Cofator C32 = (-1)^3+2 cdot |cc 1 & 1 1 & 0 | = -1 cdot (1 cdot 0 - 1 cdot 1) = 1 :
    C33 = (-1)^3+3 cdot |cc 1 & 0 1 & 1 | = 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) = 1
  • Cofator :
  • Cofator :
  • Cofator :
  • Cofator :
  • Cofator :
  • Cofator :
  • Cofator :

Passo 6

Agora, organizamos todos os cofatores na matriz dos cofatores:
Cofatores = [ccc 1 & -1 & 1 1 & 1 & -1 -1 & 1 & 1 ]
Em seguida, pegamos a transposta dessa matriz para obter a matriz adjunta Adj(A) = [ccc 1 & 1 & -1 -1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 ] :

Passo 7

Finalmente, aplicamos a fórmula da inversa:
A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A) = 11 cdot [ccc 1 & 1 & -1 -1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 ] = [ccc 1 & 1 & -1 -1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 ]

Resposta

A matriz A^-1 = [ccc 1 & 1 & -1 -1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 ] é invertível e a sua inversa é

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© [llll1 & 0 & 0 & 0 1 & 3 & 0 & 0 1 & 3 & 5 & 0 1 & 3 & 5 & 7]
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