Determine se A é invertível e, se for, encontre sua inversa.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para saber se a matriz é invertível e, se for, encontrar a sua inversa. Estamos lidando com matrizes quadradas e o conceito de inversibilidade. Para resolver isso, vamos precisar calcular o determinante da matriz e, se ele for diferente de zero, usar algumas fórmulas para achar a inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma matriz ser invertível. Uma matriz é invertível se existe outra matriz que, quando multiplicada pela original, dá a matriz identidade (que é tipo o número 1 para matrizes). Para saber se isso é possível, calculamos o determinante da matriz. Se o determinante for zero, a matriz não é invertível. Se for diferente de zero, ela é invertível.
Passo 3
Vamos calcular o determinante da matriz A = [ccc 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 ] :
O determinante de uma matriz 3x3 pode ser calculado usando a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui:
det(A) = 1 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 = 1
Simplificando:
Como o determinante é 1 (diferente de zero), a matriz é invertível.
Passo 4
Agora que sabemos que A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A) é invertível, vamos encontrar a sua inversa . Para isso, usamos a fórmula da inversa de uma matriz 3x3:
Onde é a matriz adjunta de . A adjunta é a transposta da matriz dos cofatores de .
Passo 5
Vamos encontrar os cofatores de Cij = (-1)^i+j cdot Mij . Cada cofator C11 = (-1)^1+1 cdot |cc 1 & 0 1 & 1 | = 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) = 1 é dado por: