Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, se é uma matriz quadrada de ordem e é um número real, então o traço de é igual a vezes o traço de , ou seja, . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre o traço de uma matriz e como ele se comporta com multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, lembremos o que é o traço de uma matriz. O traço de uma matriz quadrada , denotado por , é a soma dos elementos da sua diagonal principal. Se , então:
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece quando multiplicamos a matriz por um escalar . Cada elemento de é multiplicado por , então a nova matriz terá elementos .
Passo 4
Vamos calcular o traço de . Usando a definição do traço:
Passo 5
Observamos que a soma de para até pode ser fatorada por , já que é um escalar comum a todos os termos: