Prove que se
e
são matrizes
, então
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, se
é uma matriz quadrada de ordem
e
é um número real, então o traço de
é igual a
vezes o traço de
, ou seja,
. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre o traço de uma matriz e como ele se comporta com multiplicação por escalar.
Passo 2
Primeiro, lembremos o que é o traço de uma matriz. O traço de uma matriz quadrada
, denotado por
, é a soma dos elementos da sua diagonal principal. Se
, então:
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece quando multiplicamos a matriz
por um escalar
. Cada elemento de
é multiplicado por
, então a nova matriz
terá elementos
.
Passo 4
Vamos calcular o traço de
. Usando a definição do traço:
Passo 5
Observamos que a soma de
para
até
pode ser fatorada por
, já que é um escalar comum a todos os termos:
Resposta
Portanto, mostramos que
.