Prove que se A e B são matrizes n times n, então
(b) tr(k A)=k tr(A)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, se é uma matriz quadrada de ordem e é um número real, então o traço de é igual a vezes o traço de , ou seja, . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre o traço de uma matriz e como ele se comporta com multiplicação por escalar.

Passo 2

Primeiro, lembremos o que é o traço de uma matriz. O traço de uma matriz quadrada tr(A) = a11 + a22 + dots + ann = sumi=1^n aii , denotado por , é a soma dos elementos da sua diagonal principal. Se , então:

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece quando multiplicamos a matriz por um escalar . Cada elemento de é multiplicado por , então a nova matriz terá elementos .

Passo 4

Vamos calcular o traço de tr(kA) = (kA)11 + (kA)22 + dots + (kA)nn = sumi=1^n (k aii) . Usando a definição do traço:

Passo 5

Observamos que a soma de tr(kA) = k sumi=1^n aii = k tr(A) para até pode ser fatorada por , já que é um escalar comum a todos os termos:

Resposta

Portanto, mostramos que .

Exercícios relacionados

Encontre a inversa da matriz dada, conferindo a resposta por multiplicação com a inversa:
© [llll1 & 0 & 0 & 0 1 & 3 & 0 & 0 1 & 3 & 5 & 0 1 & 3 & 5 & 7]
Seja A a matriz
[lll 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 ]
Determine se A é invertível e, se for, encontre sua inversa.
Em cada parte use a informação dada para encontrar A.
(a) A^-t=[rr2 & -1 3 & 5]
Scja A a matriz
[ll 3 & 1 2 & 1 ]
Em cada parte encontre p(A).
(a) p(x)=x-2