Resolva os seguintes sistemas de equações lineares utilizando o método de inversa de matrizes:
(a)
x1+x2=2
5 x1+6 x2=9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método da inversa de matrizes. Nosso sistema é:
x1 + x2 = 2 5x1 + 6x2 = 9
A matéria que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente o método de inversa de matrizes. Para isso, vamos precisar montar a matriz dos coeficientes, calcular a sua inversa e depois multiplicar essa inversa pelo vetor dos resultados para encontrar os valores de e .

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema e o vetor dos resultados. A matriz dos coeficientes A = 1 & 1 5 & 6 , B = 2 9 e o vetor são:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inversa da matriz A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a , que vamos chamar de A = a & b c & d . A fórmula para a inversa de uma matriz é:
onde são os elementos da matriz :

Passo 4

Vamos calcular o determinante de det(A) = (1)(6) - (1)(5) = 6 - 5 = 1 , que é necessário para encontrar a inversa. O determinante é dado por:
Como o determinante é diferente de zero, a inversa existe.

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da inversa usando os elementos da matriz A^-1 = 11 6 & -1 -5 & 1 = 6 & -1 -5 & 1 :

Passo 6

Com a inversa X = A^-1 B = 6 & -1 -5 & 1 2 9 encontrada, podemos encontrar o vetor solução multiplicando pelo vetor :

Passo 7

Vamos efetuar a multiplicação das matrizes:
X = 6 cdot 2 + (-1) cdot 9 -5 cdot 2 + 1 cdot 9 = 12 - 9 -10 + 9 = 3 -1

Resposta

As soluções do sistema são e .

Exercícios relacionados

Sejam A e B matrizes n times n. Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Justifique cada resposta.
(b) (A-B)^2=(B-A)^2 deve ser verdadeiro.
Em cada parte use a informação dada para encontrar A.
(d) (I+2 A)^-1=[rr-1 & 2 4 & 5]
Seja A a matriz
[lll 1 & 0 & 1 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 ]
Determine se A é invertível e, se for, encontre sua inversa.
Encontre a inversa da matriz dada, conferindo a resposta por multiplicação com a inversa:
© [llll1 & 0 & 0 & 0 1 & 3 & 0 & 0 1 & 3 & 5 & 0 1 & 3 & 5 & 7]