Encontre a inversa da matriz dada, conferindo a resposta por multiplicação com a inversa:
(e) [rrrr0 & 0 & 2 & 0 1 & 0 & 0 & 1 0 & -1 & 3 & 0 2 & 1 & 5 & -3]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de encontrar a inversa da matriz que você me passou. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre matrizes e inversas. Para isso, a gente vai precisar usar o método de matriz aumentada e operações elementares de linha para chegar na inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz que queremos inverter e adicionar a matriz identidade ao lado dela. A matriz identidade é uma matriz quadrada com 1’s na diagonal principal e 0’s nas outras posições. Então, vamos ter:
[cccc|cccc 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & -1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 2 & 1 & 5 & -3 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 3

O próximo passo é transformar a parte esquerda dessa matriz aumentada na matriz identidade usando operações de linha (troca de linhas, multiplicação de uma linha por um escalar e adição de múltiplos de uma linha a outra). Vamos começar tentando obter um 1 no canto superior esquerdo.

Passo 4

Observamos que a primeira linha começa com 0, então vamos trocar a primeira linha com a segunda para conseguir um 1 no in��cio:
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 2 & 1 & 5 & -3 & 0 & 0 & 0 & 1 ]

Passo 5

Agora, vamos eliminar o 2 que está na posição (4,1). Para isso, vamos subtrair 2 vezes a primeira linha da quarta linha:
Linha 4 = Linha 4 - 2 × Linha 1:
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 0 & -1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 5 & -5 & 0 & -2 & 0 & 1 ]

Passo 6

Seguimos para a segunda coluna. Queremos ter um 1 na posição (2,2). Mas atualmente está 0. Vamos trocar a segunda linha com a quarta linha para conseguir um 1:
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 5 & -5 & 0 & -2 & 0 & 1 0 & -1 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 7

Vamos eliminar o -1 que está na posição (3,2). Para isso, adicionamos a segunda linha à terceira:
Linha 3 = Linha 3 + Linha 2:
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 5 & -5 & 0 & -2 & 0 & 1 0 & 0 & 8 & -5 & 0 & -2 & 1 & 1 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 8

Agora, vamos trabalhar na terceira coluna. Queremos ter um 1 na posição (3,3). Atualmente temos 8. Vamos dividir a terceira linha por 8:
Linha 3 = (1/8) × Linha 3:
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 5 & -5 & 0 & -2 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & -58 & 0 & -14 & 18 & 18 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 9

Vamos eliminar os outros valores na terceira coluna. Primeiro, na segunda linha, subtraímos 5 vezes a terceira linha:
Linha 2 = Linha 2 - 5 × Linha 3:
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & -58 + 258 = 0 & 0 & -2 + 54 = -34 & -58 & 58 0 & 0 & 1 & -58 & 0 & -14 & 18 & 18 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 10

Na quarta linha, vamos eliminar o 2 da terceira coluna subtraindo 2 vezes a terceira linha:
Linha 4 = Linha 4 - 2 × Linha 3:
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -34 & -58 & 58 0 & 0 & 1 & -58 & 0 & -14 & 18 & 18 0 & 0 & 0 & 54 & 1 & 12 & -14 & -14 ]

Passo 11

Agora, vamos trabalhar na quarta coluna. Queremos ter um 1 na posição (4,4). Temos [cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -34 & -58 & 58 0 & 0 & 1 & -58 & 0 & -14 & 18 & 18 0 & 0 & 0 & 1 & 45 & 25 & -15 & -15 ] , então vamos multiplicar a quarta linha por :
Linha 4 = × Linha 4:

Passo 12

Vamos eliminar o 1 na quarta coluna da primeira linha subtraindo a quarta linha da primeira:
Linha 1 = Linha 1 - Linha 4:
[cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & -45 & 35 & 15 & 15 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -34 & -58 & 58 0 & 0 & 1 & -58 & 0 & -14 & 18 & 18 0 & 0 & 0 & 1 & 45 & 25 & -15 & -15 ]

Passo 13

Agora, vamos eliminar o [cccc|cccc 1 & 0 & 0 & 0 & -45 & 35 & 15 & 15 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & -34 & -58 & 58 0 & 0 & 1 & 0 & 45 & -35 & 14 & 14 0 & 0 & 0 & 1 & 45 & 25 & -15 & -15 ] na terceira coluna da terceira linha adicionando vezes a quarta linha à terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 + × Linha 4:

Passo 14

Finalmente, vamos organizar tudo para que a parte esquerda seja a identidade. Já conseguimos isso. A parte da direita agora é a inversa da matriz original. Então, a inversa é:
- 45 & 35 & 15 & 15 0 & -34 & -58 & 58 45 & -35 & 14 & 14 45 & 25 & -15 & -15

Resposta

A inversa da matriz dada é:
[rrrr -dfrac45 & dfrac35 & dfrac15 & dfrac15 0 & -dfrac34 & -dfrac58 & dfrac58 dfrac45 & -dfrac35 & dfrac14 & dfrac14 dfrac45 & dfrac25 & -dfrac15 & -dfrac15 ]

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Quais das seguintes matrizes são elementares?
(e) [lll1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0]
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© (A B^-1)(B A^-1)=In deve ser verdadeiro.
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(d)
r 5 x1+3 x2+2 x3=4 3 x1+3 x2+2 x3=2 x2+x3=5
Determine se a matriz dada é invertível; se for, encontre a inversa por inspeção.
(b) [lll4 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 5]