Sejam A e B matrizes n times n. Decida se cada afirmação a seguir é verdadeira ou falsa. Justifique cada resposta.
© (A B^-1)(B A^-1)=In deve ser verdadeiro.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas matrizes quadradas, e , de ordem . Queremos saber se a afirmação é verdadeira ou falsa. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre matrizes inversas e como multiplicá-las.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a matriz inversa de uma matriz , denotada por , é aquela que satisfaz , onde é a matriz identidade de ordem .

Passo 3

Vamos multiplicar as duas matrizes dadas na afirmação:
(A B^-1)(B A^-1)
Para multiplicar matrizes, multiplicamos as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda.

Passo 4

Observamos que B^-1 B = In e A (B^-1 B) A^-1 = A In A^-1 são matrizes inversas, então:
Substituindo isso na multiplicação:

Passo 5

Multiplicar qualquer matriz pela identidade não altera a matriz. Então:
A In A^-1 = A A^-1
E sabemos que .

Resposta

Verdadeiro. .

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